高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数的应用 3.3.3 导数的实际应用学案 新人教b版选修1-1

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1、3.3.3　导数的实际应用1．会利用导数解决实际问题中的最优化问题．2．体会导数在解决实际问题中的作用．1．最优化问题在经济生活中，人们经常遇到最优化问题．例如，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的________或________，这些都是最优化问题．导数是解决这类问题的方法之一．【做一做1】下列问题不是最优化问题的是(　　)A．利润最大B．用料最省C．求导数D．用力最省2．求实际问题的最大(小)值的步骤(1)建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，注明定义域．(2)求函数的导数f′(

2、x)，解方程________，确定极值点．(3)比较函数在________和________处的函数值的大小，最大(小)者为实际问题的最大(小)值．实际问题中的变量是有范围的，即应考虑实际问题的意义，注明定义域．【做一做2】求实际问题的最值与求函数在闭区间上的最值的主要区别是________________．利用导数解决实际问题时应注意什么？剖析：(1)写出变量之间的函数关系y＝f(x)后一定要写出定义域．(2)求实际问题的最值，一定要从问题的实际意义去分析，不符合实际意义的极值点应舍去．(3)在实际问题中，一般地，f′(x)＝0在x的取值范围内仅有一个解，即函数y

3、＝f(x)只有一个极值点，则该点处的值就是问题中所指的最值．题型实际问题中最值的求法【例1】某商场从生产厂家以每件20元的进价购进一批商品，若该商品的售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2.问该商品零售价定为多少时利润最大，最大利润是多少？分析：建立销售利润关于零售价的函数，应用导数研究最值．反思：根据课程标准的规定，有关函数最值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在一个区间内只有一个点使f′(x)＝0，且该函数在这点取得极大(小)值，那么不与区间端点的函数值比较，就可以知道这

4、就是实际问题的最大(小)值．【例2】将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问怎样截能使正方形与圆的面积之和最小？分析：设其中一段长为xcm，则另一段长为(100－x)cm，然后用x表示出正方形与圆的面积之和S，求出方程S′＝0的根，该根即为所求．反思：在求最值时，往往需要建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．1要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为(　　)A．cmB．100cmC．20cmD．cm2某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每

5、生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品数量是(　　)A．100单位B．150单位C．200单位D．300单位3把长40cm的铁丝围成矩形，当长为__________cm，宽为__________cm时，矩形面积最大．4将长为52cm的铁丝剪成2段，各围成一个长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，那么面积之和的最小值为__________．5某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝(x∈N*)

6、．(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数__________；(2)为获得最大盈利，该厂的日产量应定为__________．答案：基础知识·梳理1．最佳方案　最佳策略【做一做1】C2．(2)f′(x)＝0　(3)区间端点　极值点【做一做2】求实际问题的最值需先建立数学模型，写出变量之间的函数关系y＝f(x)，并写出定义域典型例题·领悟【例1】解：设利润为L(p)，由题意可得L(p)＝(p－20)·Q＝(p－20)(8300－170p－p2)＝－p3－150p2＋11700p－166000(p＞0)，∴L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L

7、′(p)＝0，得p＝30或p＝－130(舍去)．则L(30)＝23000.∵0＜p＜30时，L′(p)＞0；p＞30时，L′(p)＜0，∴p＝30时，L(p)取得极大值．根据实际问题的意义知，L(30)就是最大值，即零售价定为每件30元时，利润最大，最大利润为23000元．【例2】解：设弯成圆的一段铁丝长为xcm，则另一段长为(100－x)cm，记正方形与圆的面积之和为Scm2，则正方形的边长a＝，圆的半径r＝.∴S＝π2＋2＝＋－x＋625(0＜x＜100)．又S′＝＋－.令S′＝0，则x＝.当0＜x＜时，S′＜0；当＜x＜100时，S′＞0.所以当x＝时，S