高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质学业分层测评 新人教b版选修2-1

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1、2.3.2双曲线的几何性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则它的标准方程是(　　)A.－＝1　　　　B．－＝1C.－＝1D．－＝1【解析】　设等轴双曲线方程为－＝1(a＞0)，∴a2＋a2＝62，∴a2＝18，故双曲线方程为－＝1.【答案】　B2．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l(　　)A．4条B．3条C．2条D．1条【解析】　因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共

2、点，另外还有两条就是过点P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】　B3．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于(　　)A．2B．2C．4D．4【解析】　由已知得e＝＝2，所以a＝c，故b＝＝c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，由焦点到渐近线的距离为，得c＝，解得c＝2，故2c＝4，故选C.【答案】　C4．若实数k满足00,16－k>0，故

3、方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝；同理方程－＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝.可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】　D5．双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为(　　)A．2B．C.D．【解析】　双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y＝±x，即＝1，e＝＝.【答案】　C二、填空题6．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________.【导学号：15460041】【解析】　∵c2＝m＋m2＋4，∴e2＝＝＝5，∴m2－4m＋4＝

4、0，∴m＝2.【答案】　27．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．【解析】　由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则

5、PQ

6、＝16.由左焦点F(－5,0)，且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P，Q都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知

7、PF

8、－

9、PA

10、＝2a，

11、QF

12、－

13、QA

14、＝2a，两式相加得，

15、PF

16、＋

17、QF

18、－(

19、PA

20、＋

21、QA

22、)＝4a，则

23、PF

24、＋

25、QF

26、＝4a＋

27、PQ

28、＝4×3＋16＝28，故△PQF的周长为28＋

29、16＝44.【答案】　448．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m,0)满足

30、PA

31、＝

32、PB

33、，则该双曲线的离心率是________．【解析】　由得点A的坐标为，由得点B的坐标为，则AB的中点C的坐标为，∵kAB＝，∴kCP＝＝－3，即＝－3，化简得a2＝4b2，即a2＝4(c2－a2)，∴4c2＝5a2，∴e2＝，∴e＝.【答案】　三、解答题9．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率．【解】　由椭圆＋＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上，∵双曲线的

34、一条渐近线为y＝x，∴设双曲线方程为－＝1.又c2＝2a2＝48，∴a2＝24.∴所求双曲线的方程为－＝1.由a2＝24，c2＝48，得e2＝＝2，又e>0，∴e＝.10．已知双曲线－＝1的右焦点为(2,0)．(1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积．【解】　(1)∵双曲线的右焦点坐标为(2,0)，且双曲线方程为－＝1，∴c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4，∴b2＝1，∴双曲线的方程为－y2＝1.(2)∵a＝，b＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，令x＝－2，则y＝±，设直线x＝－2与双曲线的渐近线的交点为A，B，则

35、AB

36、＝，记双曲线

37、的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积为S，则S＝××2＝.[能力提升]1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均与曲线C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于(　　)【导学号：15460042】A.B．C.D．【解析】　圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为C(3,0)，半径r＝2，双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝＝2，即9b2＝4(a2＋b2)，所以5b2＝4a2，b2＝a2＝c2－a2，即a2＝c2，所以e2＝，e＝，选