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《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质学业分层测评 新人教b版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4.2抛物线的几何性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于( )A．2 B．1 C．4 D．8【解析】 抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线准线的距离等于4，故选C.【答案】 C2．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为( )A．2B．4C
2、．6D．4【解析】 据题意知，△FPM为等边三角形，
3、PF
4、＝
5、PM
6、＝
7、FM
8、，∴PM⊥抛物线的准线．设P，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1,0)，
9、PM
10、＝
11、FM
12、，得1＋＝，得m＝2，∴等边三角形的边长为4，其面积为4，故选D.【答案】 D3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得①－②得，(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)．又∵
13、y1＋y2＝4，∴＝＝＝k＝1，∴p＝2.∴所求抛物线的准线方程为x＝－1.【答案】 B4．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则
14、AB
15、＝( )A.B．6C．12D．7【解析】 焦点F的坐标为，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y＝，即y＝x－，代入y2＝3x，得x2－x＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，所以
16、AB
17、＝x1＋x2＋＝＋＝12，故选C.【答案】 C5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，那么
18、AB
19、等于( )A．10B．8C
20、．6D．4【解析】 由题意知p＝2，
21、AB
22、＝x1＋x2＋p＝8.故选B.【答案】 B二、填空题6．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．【解析】 设抛物线上点的坐标为(x，±)，此点到准线的距离为x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝，∴y＝±，∴此点坐标为.【答案】 7．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.【解析】 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.【答案】 0或18．平面上一机
23、器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________.【导学号：15460049】【解析】 设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.过点P(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．由得ky2－4y＋4k＝0.当k＝0时，显然不符合题意；当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，化简得k2－1>0，解得k>1或k<－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】 (－∞
24、，－1)∪(1，＋∞)三、解答题9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且
25、AM
26、＝，
27、AF
28、＝3，求此抛物线的标准方程．【解】 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，设A(x0，y0)，由题知M.∵
29、AF
30、＝3，∴y0＋＝3，∵
31、AM
32、＝，∴x＋2＝17，∴x＝8，代入方程x＝2py0，得8＝2p，解得p＝2或p＝4.∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.10．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求
33、AB
34、的值；(2)若
35、AB
36、＝9，求线段AB
37、的中点M到准线的距离．【解】 (1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝.又F，所以直线l的方程为y＝.联立消去y得x2－5x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，而
38、AB
39、＝
40、AF
41、＋
42、BF
43、＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以
44、AB
45、＝5＋3＝8.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
46、AB
47、＝
48、AF
49、＋
50、BF
51、＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离为3＋＝
