高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质学案新人教b版选修2

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1、2.4.2　抛物线的几何性质1．掌握抛物线的几何性质．2．能根据这些几何性质解决一些简单问题．1．抛物线y2＝2px(p＞0)的几何性质(1)范围．因为p＞0，所以______，抛物线在y轴的______，当x值增大时，

2、y

3、也______，抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性．关于______对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的____．(3)顶点．抛物线和______的交点叫做抛物线的顶点，这条抛物线的顶点为________．(4)离心率．抛物线上的点到______与到____的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，由抛物线的定义知e＝______.【做一做1－1】已知抛物

4、线的方程为y2＝16x，则抛物线的准线方程为(　　)A．x＝－2B．x＝4C．x＝8D．x＝－4【做一做1－2】抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为(　　)A．2B．3C．4D．52．四种标准形式的抛物线几何性质的比较标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)图形范围________________对称轴______顶点原点O(0,0)焦点坐标________________准线方程________________离心率e＝1标准方程x2＝________x2＝________图形范围________________对称轴______顶点原点O

5、(0,0)焦点坐标________________准线方程y＝______y＝______离心率e＝1四种位置的抛物线标准方程的对比剖析：(1)共同点：①原点在抛物线上；②焦点在坐标轴上；③焦点的非零坐标都是一次项系数的.(2)不同点：①焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2；②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，焦点在x轴(或y轴)正半轴上，方程右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，焦点在x轴(或y轴)负半轴上，方程右端取负号．题型一抛物线中的最值问题【例1】若点A的坐标为(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦

6、点，点P在该抛物线上移动，为使得

7、PA

8、＋

9、PF

10、取得最小值，则点P的坐标为__________．反思：求抛物线中的最值时，应从分析图形的性质入手，将三角形的性质与抛物线的定义、性质相结合，从而使问题简单化．题型二求抛物线的标准方程【例2】分别求适合下列条件的抛物线方程．(1)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点A(2,3)；(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为.分析：根据条件，结合抛物线的定义，求出焦参数p，从而求得方程．反思：(1)抛物线的标准方程有四种形式，主要看其焦点位置或开口方向．(2)抛物线的标准方程只有一个参数p，即焦点到准线的距离，常称为焦参数．题型

11、三抛物线几何性质的应用【例3】已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点坐标和准线方程．(1)x2＝4y；(2)2y2＋5x＝0.分析：先根据抛物线的标准方程形式，求出p，再根据开口方向，写出焦点坐标和准线方程．反思：由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程，首先判断开口方向，求出参数p，然后再求解．1．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为(　　)A．x2＝－28yB．y2＝28xC．y2＝－28xD．x2＝28y2．抛物线y＝－x2的焦点坐标为(　　)A．B．C．D．3．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则点P的坐标为(　　)A．B．C．D．4．设抛物线y2＝mx的

12、准线与直线x＝1的距离为3，则抛物线的方程为__________．5．已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3，则抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程分别为__________、__________、__________.答案：基础知识·梳理1．(1)x≥0　右侧　增大　(2)x轴　轴　(3)它的轴　坐标原点　(4)焦点　准线　1【做一做1－1】D　∵2p＝16，∴－＝－4.∴抛物线的准线方程为x＝－4.故选D.【做一做1－2】D　∵抛物线准线为y＝－1，且点A的纵坐标为4，∴点A到准线的距离为5.又∵点A到准线的距离与到焦点的距离相等，∴点A到焦点的距离为5.2．x≥

13、0，y∈R　x≤0，y∈R　x轴　　　x＝－　x＝　2py(p＞0)　－2py(p＞0)　y≥0，x∈R　y≤0，x∈R　y轴　　　－　典型例题·领悟【例1】(2,2)由抛物线定义，

14、PF

15、等于点P到抛物线准线的距离

16、PP′

17、，如图所示．因此，当且仅当点P，A，P′在同一条直线上时，有

18、PF

19、＋

20、PA

21、＝

22、PP′

23、＋

24、PA

25、最小，此时点P的纵坐标等于点A的纵坐标，即y＝2，故此时点P的坐标为(2,2)．【例2】解：(1)由题意，方程可设为y2＝mx或x2＝