高中数学2.4.2抛物线的几何性质学案新人教b版选修2

高中数学2.4.2抛物线的几何性质学案新人教b版选修2

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1、2.4.2 抛物线的几何性质1.掌握抛物线的几何性质.(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题.(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题.(难点)[基础·初探]教材整理 抛物线的几何性质阅读教材P61,完成下列问题.标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形性质焦点准线x=-x=y=-y=范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈R________________对称轴________________顶点________离心率___

2、_____开口方向向右向左向上向下【答案】 y≥0,x∈R y≤0,x∈R x轴 y轴 (0,0) e=1判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)抛物线关于顶点对称.(  )(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.(  )(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(  )【答案】 (1)× (2)√ (3)√[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:____________________________________________________

3、____解惑:________________________________________________________疑问2:________________________________________________________解惑:________________________________________________________疑问3:________________________________________________________解惑:_______________

4、_________________________________________[小组合作型]利用抛物线的性质求抛物线方程 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,求抛物线的标准方程.【精彩点拨】 由双曲线离心率求得其渐近线方程,从而求得交点A,B的坐标,即可得到三角形面积表达式,从而得到p的值,进而写出标准方程.【自主解答】 由已知得=2,所以=4,解得=,即渐近线方程为y=±x.而抛物线准线方程

5、为x=-,于是A,B,从而△AOB的面积为·p·=,可得p=2.因为抛物线开口向右,所以其标准方程为y2=4x.抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上,顶点就是抛物线与对称轴的交点,准线始终与对称轴垂直,准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称,顶点到焦点的距离为.[再练一题]1.抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程.【解】 椭圆的方程可化为+=1,其短轴在x轴上,∴抛物线的对称轴为x轴,∴设抛物线的方程为y2=2p

6、x或y2=-2px(p>0).∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即=3,∴p=6,∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x,其准线方程分别为x=-3和x=3.抛物线几何性质的应用 正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.【精彩点拨】 先证明x轴是它们的公共对称轴,再求三角形边长.【自主解答】 如图所示,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上,且坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则y=2px1,y=2px2.又OA=OB,所以x+y=x+y

7、,即x-x+2px1-2px2=0,整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.∵x1>0,x2>0,2p>0,∴x1=x2,由此可得

8、y1

9、=

10、y2

11、,即线段AB关于x轴对称,由此得∠AOx=30°,所以y1=x1,与y=2px1联立,解得y1=2p,∴

12、AB

13、=2y1=4p.抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A,B两点关于x轴对称.另外,抛物线方程中变量x,y的范围也是常用的几何性质.[再练一题

14、]2.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则Rt△ABO的面积是(  )【导学号:15460047】A.8p2     B.4p2C.2p2D.p2【解析】 由抛物线的对称性,可知kOA=1,可得A,B的坐标分别为(2p,2p),(2p,-2p),S△ABO=×2p×4p=4p2.【答案】 B[探究共研型]抛

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