2018版高中数学人教b版选修2-1学案:2.4.2 抛物线的几何性质

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1、2018年人教B版高中数学选修2-1学案2.4.2 抛物线的几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.知识点一 抛物线的范围思考 观察下列图形,思考以下问题:(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形,分析其几何图形存在哪些区别?(2)根据图形及抛物线方程y2=2px(p>0)如何确定横坐标x的范围?梳理 抛物线y2=2px(p>0)中,x∈__________,y∈__________.抛物线y2=-2px(p>0)中,x∈__________,y∈__________.抛物

2、线x2=2py(p>0)中,x∈__________,y∈__________.抛物线x2=-2py(p>0)中,x∈__________,y∈__________.知识点二 四种形式的抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点F(,0)F(-,0)F(0,)F(0,-)92018年人教B版高中数学选修2-1学案准线方程x=-x=y=-y=顶点坐标O(0,0)离心率e=1通径长2p知识点三 直线与抛物线

3、的位置关系直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数,即二次方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0解的个数.当k≠0时,若Δ>0,则直线与抛物线有______个不同的公共点;若Δ=0时,直线与抛物线有______个公共点;若Δ<0时,直线与抛物线________公共点.当k=0时,直线与抛物线的轴__________,此时直线与抛物线有______个公共点.类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程例1 抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线

4、的准线方程.引申探究将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4”,求此抛物线的标准方程. 反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交于A,B两点,

5、AB

6、=2,求抛物线方程.92018年人教B版高中数学选修2-1学案类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题例2 (1)过抛物线y2=8x的焦点,倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________.(2)直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B两点,若

7、

8、AB

9、=8,则直线l的方程为________________.(3)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),若

10、AB

11、=7,则AB的中点M到抛物线准线的距离为________________.反思与感悟 (1)抛物线上任一点P(x0,y0)与焦点F的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径,对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为:①抛物线y2=2px(p>0),

12、PF

13、=

14、x0+

15、=+x0;②抛物线y2=-2px(p>0),

16、PF

17、=

18、x0-

19、=-x0;③抛物线x2=2py(p>0),

20、PF

21、=

22、y0+

23、=+y0;④抛物线x2=

24、-2py(p>0),

25、PF

26、=

27、y0-

28、=-y0.(2)已知AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,F为抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),则:①y1·y2=-p2,x1·x2=;②

29、AB

30、=x1+x2+p=(θ为直线AB的倾斜角);③S△ABO=(θ为直线AB的倾斜角);④+=;⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.(3)当直线经过抛物线的焦点,且与抛物线的对称轴垂直时,直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径,显然通径长等于2p.跟踪训练2 已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,

31、求

32、AB

33、的值;(2)若

34、AB

35、=9,求线段AB的中点M到准线的距离.类型三 抛物线综合问题92018年人教B版高中数学选修2-1学案命题角度1 与抛物线有关的最值问题例3 抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,若点A(-1,0),求的最小值.反思与感悟 (1)若曲线和直线相离,在曲线上求一点到直线的距离最小问题,可找到与已知直线平行的直线,使其与曲线相切,则切点为所要求的点.(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决.跟踪训练3 已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动

36、点P到直线

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