高中数学 2.4.2 抛物线的几何性质学案 新人教B版选修.doc

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1、2.4.2　抛物线的几何性质1．掌握抛物线的几何性质．(重点)2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)[基础·初探]教材整理　抛物线的几何性质阅读教材P61，完成下列问题.标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点准线x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈R________________对称轴________________顶点________离心

2、率________开口方向向右向左向上向下【答案】　y≥0，x∈R　y≤0，x∈R　x轴　y轴　(0,0)　e＝1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线关于顶点对称．(　　)(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(　　)(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　　)【答案】　(1)×　(2)√　(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：____________________________________________

3、____________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：___

4、_____________________________________________________[小组合作型]利用抛物线的性质求抛物线方程　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，求抛物线的标准方程．【精彩点拨】　由双曲线离心率求得其渐近线方程，从而求得交点A，B的坐标，即可得到三角形面积表达式，从而得到p的值，进而写出标准方程．【自主解答】　由已知得＝2，所以＝4，解得＝，即渐近线

5、方程为y＝±x.而抛物线准线方程为x＝－，于是A，B，从而△AOB的面积为·p·＝，可得p＝2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y2＝4x.抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离为.[再练一题]1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．【解】　椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对

6、称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3和x＝3.抛物线几何性质的应用　正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．【精彩点拨】　先证明x轴是它们的公共对称轴，再求三角形边长．【自主解答】　如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1

7、，y＝2px2.又OA＝OB，所以x＋y＝x＋y，即x－x＋2px1－2px2＝0，整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.∵x1>0，x2>0,2p>0，∴x1＝x2，由此可得

8、y1

9、＝

10、y2

11、，即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°，所以y1＝x1，与y＝2px1联立，解得y1＝2p，∴

12、AB

13、＝2y1＝4p.抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称．另外，抛

14、物线方程中变量x，y的范围也是常用的几何性质．[再练一题]2．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则Rt△ABO的面积是(　　)【导学号：】A．8p2　　　　　B．4p2C．2p2D．p2【解析】　由抛物线的对称性，可知kOA＝1，可得A，B的坐标分别为(2p,2p)，(2p，－2p)，S△ABO＝×2p×4p＝4p2.【答案】　B[探究共研型]抛物线的焦点弦及其