2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质学案新人教b版选修

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1、2.4.2　抛物线的几何性质学习目标　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一　抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点FFFF准线方程x＝－x＝y＝－y＝顶点坐标O(0,0)离心率e＝1通径长2p知识点二　直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px

2、(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．1．拋物线没有渐近线．(　√　)2．过拋物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.(　×　)3．若一条直线与拋物线只有一个公共点，则二者一定相切．(　×　)4．拋物线只有一条对称轴，没有对称中心．(　√　)5．拋物线的

3、开口大小由拋物线的离心率决定．(　×　)题型一　抛物线的几何性质的应用例1　(1)顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　)A．x2＝16yB．x2＝8yC．x2＝±8yD．x2＝±16y答案　D解析　顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)．由顶点到准线的距离为4，知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y或x2＝－16y.(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，

4、AB

5、＝2，求抛物线方程．考

6、点　抛物线的简单几何性质题点　抛物线与其他曲线结合有关问题解　由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上．故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，∴点A与B关于x轴对称，∴

7、y1

8、＝

9、y2

10、且

11、y1

12、＋

13、y2

14、＝2，∴

15、y1

16、＝

17、y2

18、＝，代入圆x2＋y2＝4，得x2＋3＝4，∴x＝±1，∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，得()2＝±a，∴a＝±3.

19、∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.反思感悟　把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1　已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，

20、OA

21、＝

22、OB

23、，若

24、焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．考点　抛物线的简单几何性质题点　焦点、准线、对称性的简单应用解　(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.(2)如图所示，由

25、OA

26、＝

27、OB

28、可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，则

29、OF

30、＝

31、OM

32、.因为F(2,0)，所以

33、OM

34、＝

35、OF

36、＝3，所以M(3,0)．故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24；所以m＝2或m＝－2，所以A(3,2)，B(3，－2)，所以

37、

38、OA

39、＝

40、OB

41、＝，所以△OAB的周长为2＋4.题型二　直线与抛物线的位置关系命题角度1　直线与抛物线位置关系的判断例2　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．考点　直线与抛物线的位置关系题点　直线与抛物线公共点个数问题解　联立消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k＝0时，(*)式只有一个解x＝，∴y＝1，∴直线l与C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴．当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4

42、k2＝16(1－k)．①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；当k>1时，l与C没有公共点．反思感悟　直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p>