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《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的几何性质学业分层测评 新人教b版选修1-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3.2抛物线的几何性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A．有且仅有一条 B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在【解析】 由定义，知
2、AB
3、＝5＋2＝7，因为
4、AB
5、min＝4，所以这样的直线有且仅有两条．【答案】 B2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )A．2B．2C．2D．2【解析】 设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线
6、AB斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，
7、AB
8、＝＝＝2.故选B.【答案】 B3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，
9、AF
10、＝x0，则x0＝( )A．1B．2C．4D．8【解析】 由y2＝x得2p＝1，即p＝，因此焦点F，准线方程为l：x＝－，设A点到准线的距离为d，由抛物线的定义可知d＝
11、AF
12、，从而x0＋＝x0，解得x0＝1，故选A.【答案】 A4．已知抛物线y
13、2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在抛物线上，得y＝2px1，①y＝2px2，②由①－②，得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1＋y2＝4，直线AB的斜率为1，故2p＝4，p＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－＝－1.【答案】 B5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线
14、上一点，若O·A＝－4，则点A的坐标为( )【导学号：25650086】A．(2，±2)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,2)【解析】 设A(x，y)，则y2＝4x，①O＝(x，y)，A＝(1－x，－y)，O·A＝x－x2－y2＝－4，②由①②可解得x＝1，y＝±2.【答案】 B二、填空题6．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．【解析】 可判断直线y＝x＋4与抛物线y2＝4x相离，设y＝x＋m与抛物线y2＝4x相切，则由消去x得y2－4y＋4m＝0.∴Δ＝16－16m＝0，m＝1.又y
15、＝x＋4与y＝x＋1的距离d＝＝，则所求的最小距离为.【答案】 7．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．【解析】 设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，当m＝0时，y＋y最小为32.【答案】 328．过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若
16、AB
17、＝，
18、AF
19、＜
20、BF
21、，则
22、AF
23、＝______
24、__.【解析】 设过抛物线焦点的直线为y＝k，联立得整理得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，x1＋x2＝，x1x2＝.
25、AB
26、＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得k2＝24，代入k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0得12x2－13x＋3＝0，解之得x1＝，x2＝，又
27、AF
28、＜
29、BF
30、，故
31、AF
32、＝x1＋＝.【答案】 三、解答题9．求过定点P(0,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程.【导学号：25650087】【解】 如图所示，若直线的斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x＝0，由得即直线x＝0与抛物线只有一个公共点
33、．若直线的斜率存在，则设直线为y＝kx＋1，代入y2＝2x得：k2x2＋(2k－2)x＋1＝0，当k＝0时，直线方程为y＝1，与抛物线只有一个交点．当k≠0时，Δ＝(2k－2)2－4k2＝0⇒k＝.此时，直线方程为y＝x＋1.可知，y＝1或y＝x＋1为所求的直线方程．故所求的直线方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.10．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．【解】 由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，焦点F，直线l：x＝，∴
34、A，B两点坐标为，，∴
35、AB
36、＝2
37、p
38、.∵△OAB的面积为4，∴··2
39、p
40、＝4，∴p＝±2.∴抛物线方程为y2＝±4x.[能力提升]1．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则
41、AB
42、＝( )A.B．6C．12D．7
