高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的几何性质学业分层测评 新人教b版选修1-1

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1、2.2.2双曲线的几何性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线－＝1的渐近线方程是(　　)A．4x±3y＝0　　　　　B．16x±9y＝0C．3x±4y＝0D．9x±16y＝0【解析】　由题意知，双曲线焦点在x轴上，且a＝3，b＝4，∴渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0.【答案】　A2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是(　　)A．x2－y2＝8B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8D．y2－x2＝4【解析】　令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为

2、(－4,0)，∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选A.【答案】　A3．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)【导学号：25650072】A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±xD．y＝±x【解析】　由已知，得b＝1，c＝，a＝＝.因为双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±x＝±x.【答案】　C4．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)A．2B.C.D．1【解析】　由题意得e＝＝2，∴＝2a，∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.【答案】　D5．与

3、曲线＋＝1共焦点，且与曲线－＝1共渐近线的双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1【解析】　根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双曲线方程为－＝λ(λ＜0)，即－＝1.由－64λ＋(－36λ)＝25，得λ＝－.故所求双曲线的方程为－＝1.【答案】　A二、填空题6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．【解析】　由三角形相似或平行线分线段成比例定理得＝，∴＝3，即e＝3.【答案】　37．直线x－y＋＝0被双曲线x2－y2＝1截得

4、的弦AB的长是________．【解析】　联立消去y，得x2＋3x＋2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－3，x1x2＝2，∴

5、AB

6、＝·＝2.【答案】　28．若直线x＝2与双曲线x2－＝1(b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B，且△AOB的面积为8，则焦距为________．【解析】　由双曲线为x2－＝1得渐近线为y＝±bx，则交点A(2,2b)，B(2，－2b)．∵S△AOB＝×2×4b＝8，∴b＝2.又a2＝1，∴c2＝a2＋b2＝5.∴焦距2c＝2.【答案】　2三、解答题9．已知双曲线C的方程

7、为－＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝，顶点到渐近线的距离为，求双曲线C的方程．【解】　依题意，双曲线的焦点在y轴上，顶点坐标为(0，a)，渐近线方程为y＝±x，即ax±by＝0，所以＝＝.又e＝＝，所以b＝1，即c2－a2＝1，2－a2＝1，解得a2＝4，故双曲线方程为－x2＝1.10．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在点P，使

8、PF1

9、＝2

10、PF2

11、，试确定双曲线离心率的取值范围.【导学号：25650073】【解】　由题意知在双曲线上存在一点P，使得

12、PF1

13、＝2

14、PF2

15、，如图所示．又

16、∵

17、PF1

18、－

19、PF2

20、＝2a，∴

21、PF2

22、＝2a，即在双曲线右支上恒存在点P，使得

23、PF2

24、＝2a，即

25、AF2

26、≤2a.∴

27、OF2

28、－

29、OA

30、＝c－a≤2a，∴c≤3a.又∵c＞a，∴a＜c≤3a，∴1＜≤3，即1＜e≤3.[能力提升]1．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是(　　)A．(－10,0)　　　　　B．(－12,0)C．(－3,0)D．(－60，－12)【解析】　双曲线方程化为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，又∵e∈(1,2)，∴1<<2，解得－12

31、．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1【解析】　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得＝＝＝，又AB的斜率是＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是－＝1.【答案】　B3．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·

32、的最小值为________．【解析】　由题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，∴·＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2－x－2＋y2，由双曲线方程得y2＝3x2－3，代入上式得·＝4x2－x－5＝42－，又x≥1，所以当