高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程学业分层测评 新人教b版选修1-1

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1、2.2.1双曲线及其标准方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线－＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是12，则P到F2的距离是(　　)A．17　　　　　　　　B．7C．7或17D．2或22【解析】　由双曲线方程－＝1得a＝5，∴

2、

3、PF1

4、－

5、PF2

6、

7、＝2×5＝10.又∵

8、PF1

9、＝12，∴

10、PF2

11、＝2或22.故选D.【答案】　D2．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为(　　)【导学号：25650064】A．x2－＝1B.－y2＝1C．y2－＝1D.－＝1【

12、解析】　由双曲线定义知，2a＝－＝5－3＝2，∴a＝1.又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.【答案】　A3．设动点M到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1(x＜0)D.－＝1(x＞0)【解析】　由双曲线的定义得，P点的轨迹是双曲线的一支．由已知得∴a＝3，c＝5，b＝4.故P点的轨迹方程为－＝1(x＞0)，因此选D.【答案】　D4．已知双曲线－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距

13、离为(　　)A.B.C.D.【解析】　不妨设点F1(－3,0)，容易计算得出

14、MF1

15、＝＝，

16、MF2

17、－

18、MF1

19、＝2.解得

20、MF2

21、＝.而

22、F1F2

23、＝6，在直角三角形MF1F2中，由

24、MF1

25、·

26、F1F2

27、＝

28、MF2

29、·d，求得F1到直线F2M的距离d为.故选C.【答案】　C5．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是(　　)A.B．1或－2C．1或D．1【解析】　由于a＞0,0＜a2＜4，且4－a2＝a＋2，所以可解得a＝1，故选D.【答案】　D二、填空题6．经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标

30、准方程是________.【导学号：25650065】【解析】　设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，则解得故双曲线的标准方程为－＝1.【答案】　－＝17．已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断：①当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆；②当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线；③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜；④若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4.其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．【解析】　①错误，当t＝时，曲线C表示圆；②正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)＜0，∴t＜1或t＞4

31、；③正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t＞t－1＞0.∴1＜t＜；④正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则，∴t＞4.【答案】　②③④8．已知F是双曲线－＝1的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则

32、PF

33、＋

34、PA

35、的最小值为________．【解析】　设右焦点为F′，依题意，

36、PF

37、＝

38、PF′

39、＋4，∴

40、PF

41、＋

42、PA

43、＝

44、PF′

45、＋4＋

46、PA

47、＝

48、PF′

49、＋

50、PA

51、＋4≥

52、AF′

53、＋4＝5＋4＝9.【答案】　9三、解答题9．求以椭圆＋＝1短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．【解】　由＋＝1，

54、得a＝4，b＝3，所以短轴两端点的坐标为(0，±3)，又双曲线过A点，由双曲线定义得2a＝

55、－

56、＝2，∴a＝，又c＝3，从而b2＝c2－a2＝4，又焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为－＝1.10．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sinB－sinA＝sinC.(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程．【解】　(1)将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1.∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，则A(－2,0)，B(2,0)，

57、AB

58、＝4.(2)∵sinB－sin

59、A＝sinC，∴由正弦定理得

60、CA

61、－

62、CB

63、＝

64、AB

65、＝2<

66、AB

67、＝4，即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，∴所求的点C的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．[能力提升]1．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则

68、PF1

69、

70、PF2

71、＝(　　)A．2B．4C．6D．8【解析】　由题意，得

72、

73、PF1

74、－

75、PF2

76、

77、＝2，

78、F1F2

79、＝2.因为∠F1PF2＝60°，所以

80、PF1

81、2＋

82、PF2

83、2－2

84、PF1

85、·

86、PF2

87、·cos60°＝

88、

89、F1F2

90、2，所以(

91、PF1

92、－

93、PF2

94、)2＋2

95、PF1

96、

97、PF2

98、－2

99、PF1

100、

101、PF2

102、×＝8，所以

103、PF1

104、·

105、PF2

106、＝8－22＝4.【答案】　B2．已知双曲线的两个焦点F1(－，