高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程学业分层测评 新人教b版选修2-1

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1、2.2.1椭圆的标准方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)A．(3，＋∞)B．(－∞，－2)C．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D．(3，＋∞)∪(－6，－2)【解析】　由于椭圆的焦点在x轴上，所以即解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D.【答案】　D2．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是(　　)A.＋x2＝1B.＋y2＝1或x2＋＝1C.＋y2＝1D．以上都不对【解析】　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，则∴∴椭圆的方程为x2＋＝1.【答案】　A3．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦

2、点，P是椭圆上的点，且

3、PF1

4、∶

5、PF2

6、＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)A．5　　　B．4　　　C．3　　　D．1【解析】　由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴

7、PF1

8、＋

9、PF2

10、＝2a＝6，又

11、PF1

12、∶

13、PF2

14、＝2∶1，∴

15、PF1

16、＝4，

17、PF2

18、＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为

19、PF1

20、·

21、PF2

22、＝×4×2＝4，故选B.【答案】　B4．椭圆mx2＋ny2＝－mn(m

23、n(m－n>0，得焦点在y轴上，即a2＝－m，b2＝－n，得c2＝a2－b2＝n－m，故选C.【答案】　C5．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【解析】　由椭圆定义知，

24、PF1

25、＋

26、PF2

27、＝2a＝8，又

28、PF1

29、－

30、PF2

31、＝2，∴

32、PF1

33、＝5，

34、PF2

35、＝3，又

36、F1F2

37、＝2c＝2＝4，即

38、F1F2

39、2＋

40、PF2

41、2＝

42、PF1

43、2，∴△PF1F2为直角三角形．【答案】　B二、填空题6．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a

44、>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.【解析】　依题意，有可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3.【答案】　37．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________．【解析】　法一：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．从而有解得又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的标准方程为＋＝1.法二：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

45、【答案】　＋＝18．已知P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得

46、PQ

47、＝

48、PF2

49、，那么动点Q的轨迹方程是________．【解析】　如图，依题意，

50、PF1

51、＋

52、PF2

53、＝2a(a是常数且a＞0)．又

54、PQ

55、＝

56、PF2

57、，∴

58、PF1

59、＋

60、PQ

61、＝2a，即

62、QF1

63、＝2a.由题意知，a＝2，b＝，c＝＝＝1.∴

64、QF1

65、＝4，F1(－1,0)，∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，∴动点Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.【答案】　(x＋1)2＋y2＝16三、解答题9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．设椭圆C上一

66、点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．【解】　∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，∴2a＝4，a2＝4，∵点是椭圆上的一点，∴＋＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，∴椭圆C的方程为＋＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.【解】　(1)由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a＝＋＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为

67、＋＝1.(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又因为c∶a＝5∶13，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.[能力提升]1．“0