高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程学业分层测评 新人教b版选修2-1

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1、2.3.1双曲线的标准方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围为(　　)A．－2＜m＜2　　　　　B．m＞0C．m≥0D．

2、m

3、≥2【解析】　∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.【答案】　A2．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　)A.－＝1B．－＝1C.－＝1(x≤－3)D．－＝1(x≥3)【解析】　由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．【答案】　D3

4、．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B．－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1【解析】　由⇒(

5、PF1

6、－

7、PF2

8、)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故选C.【答案】　C4．已知椭圆方程＋＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为(　　)A.B．C．2D．3【解析】　椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a＝1，c＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝2.【答案】　C5．若k＞1，则关于x，y的方程(

9、1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　　)A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在x轴上的双曲线【解析】　原方程化为标准方程为＋＝1，∵k＞1，∴1－k＜0，k2－1＞0，∴此曲线表示焦点在y轴上的双曲线．【答案】　C二、填空题6．设点P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若

10、PF1

11、＝10，则

12、PF2

13、＝________.【解析】　由双曲线的标准方程得a＝3，b＝4.于是c＝＝5.(1)若点P在双曲线的左支上，则

14、PF2

15、－

16、PF1

17、＝2a＝6，∴

18、PF2

19、＝6＋

20、PF1

21、＝16；(2)若点P在双曲线的右支上，则

22、

23、PF1

24、－

25、PF2

26、＝6，∴

27、PF2

28、＝

29、PF1

30、－6＝10－6＝4.综上，

31、PF2

32、＝16或4.【答案】　16或47．已知F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件

33、PF1

34、－

35、PF2

36、＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的________．(填序号)【导学号：15460036】①2；②－1；③4；④－3.【解析】　设双曲线的方程为－＝1，则c＝3，∵2a<2c＝6，∴

37、2m－1

38、<6，且

39、2m－1

40、≠0，∴－

41、______．【解析】　由方程－＝1知a2＝16，b2＝9，即a＝4，c＝＝5.在△ABP中，利用正弦定理和双曲线的定义知，＝＝＝＝.【答案】　三、解答题9．求与双曲线－＝1有相同焦点且过点P(2,1)的双曲线的方程．【解】　∵双曲线－＝1的焦点在x轴上．依题意，设所求双曲线为－＝1(a>0，b>0)．又两曲线有相同的焦点，∴a2＋b2＝c2＝4＋2＝6.①又点P(2,1)在双曲线－＝1上，∴－＝1.②由①②联立得a2＝b2＝3，故所求双曲线方程为－＝1.10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．【解】　(1)当k＝0时，y＝±

42、2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．[能力提升]1．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　)【导学号：15460037】A．1　　　B．　　　C．2　　　D．3【解析】　由题意知椭圆、双曲线的焦点在x轴上，且a>0.∵4－a2＝a＋2，∴a2＋a－2＝0，∴a＝1或a＝－2(舍去)．故选A.【答案】　A2．已知F1，F2为双曲线C

43、：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则

44、PF1

45、·

46、PF2

47、等于(　　)A．2B．4C．6D．8【解析】　不妨设P是双曲线右支上一点，在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝，则

48、PF1

49、－

50、PF2

51、＝2a＝2，

52、F1F2

53、＝2，∵

54、F1F2

55、2＝

56、PF1

57、2＋

58、PF2

59、2－2

60、PF1

61、·

62、PF2

63、·cos∠F1PF2，∴8＝

64、PF1

65、2＋

66、PF2

67、2－2

68、PF1

69、·

70、PF2

71、·，∴8＝(

72、PF1

73、－

74、PF2

75、)2＋

76、PF1

77、·

78、PF2

79、，