高中数学 第三章 导数及其应用学案 新人教b版选修1-1

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1、第三章　导数及其应用知识建构综合应用专题一　导数的概念及其几何意义1．用定义求导数的一般步骤：(1)求函数的改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(2)求平均变化率＝；(3)取极限，得f′(x)＝.2．导数的几何意义：由于函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决．应用1已知f(x)在x＝x0处可导，则＝(　　)A．f′(x0)B．f(x0)C．[f′(x0)]2D．2f′(x0)f(x0)提示：对所给式子进

2、行变形，用导数的定义解题．应用2设f(x)为可导函数，且满足条件＝－1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率．提示：根据导数的几何意义及已知条件可知，欲求y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率，即求f′(1)．注意到所给条件的形式与导数的定义中f′(x)＝的比较，由已知的极限式变形可求得f′(1)．专题二　用导数求函数的单调区间、极值、最值1．求函数单调区间的步骤：(1)确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)求出f′(x)＝0的根；(4)用f′(x)＝0的根将定义域分成若干区间，判断f′(x)在各区间内的符号，进而确定f(x)的单

3、调区间．2．求函数极值的步骤：(1)求导数f′(x)；(2)求f′(x)＝0或f(x)不存在的所有点；(3)检查上面求出的x的两侧导数的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个点处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个点处取得极小值．3．求函数最值的步骤：(1)求函数f(x)在[a，b]上的极值；(2)极值与f(a)，f(b)相比较，最大的为最大值，最小的为最小值．应用(2010·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,

4、2]上的最大值与最小值．提示：由函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数，可求得a，b.然后按照求最值的步骤求其最大值与最小值．专题三　利用求导法证明不等式、求参数范围等1．在用求导法证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明．2．一些求题中参数取值范围的问题，常转化为恒成立问题来解决．利用f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a和f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a的思想解题．3．解极值应用的问题一般分三个步骤：(1)建立函数关系式；(2)求所列函数关系式中可能取得极值的点；(3)具体作出判

5、断，得出结果．其中关键在于建立函数关系式，若所求函数只有一个极值点，一般就是要求的最大值(或最小值)点．应用1求证：lnx＋－(x－1)2≥(1－x)3.提示：可利用构造函数求极值的方法予以证明，同时要注意到题中x＞0这一隐含条件．应用2已知在函数f(x)＝mx3－x的图象上，以N(1，n)为切点的切线的倾斜角为.(1)求m，n的值．(2)是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)≤k－1996对于x∈[－1,3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由．提示：(1)切线的倾斜角为⇒切线的斜率为1，即函数f(x)＝mx3－x在N(1，n)的导数为1

6、，从而求出m，进而求出n.(2)不等式f(x)≤k－1996对于x∈[－1,3]恒成立⇔f(x)最大值≤k－1996，解不等式即可求得k.真题放送1(2010·辽宁高考，理10)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)A．B．C．D．2(2011·湖南高考，文7)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)A．－B．C．－D．3(2011·福建高考，文10)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)A．2B．3C．6D．94(2011·浙江高考，文10)设函数f(x)＝ax2

7、＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是(　　)5(2011·辽宁高考，文11)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)6(2010·辽宁高考，文21)已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a≤－2，证明对任意x1，x2∈(0，＋∞)，

8、f(x1)－f(x2)

9、≥4

10、x1－x2

11、.7(