高中数学 第三章 导数及其应用学案 新人教b版选修1-1

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1、第三章 导数及其应用知识建构综合应用专题一 导数的概念及其几何意义1.用定义求导数的一般步骤:(1)求函数的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x);(2)求平均变化率=;(3)取极限,得f′(x)=.2.导数的几何意义:由于函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0),就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,其切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决.应用1已知f(x)在x=x0处可导,则=(  )A.f′(x0)B.f(x0)C.[f′(x0)]2D.2f′(x0)f(x0)提示:对所给式子进

2、行变形,用导数的定义解题.应用2设f(x)为可导函数,且满足条件=-1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.提示:根据导数的几何意义及已知条件可知,欲求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率,即求f′(1).注意到所给条件的形式与导数的定义中f′(x)=的比较,由已知的极限式变形可求得f′(1).专题二 用导数求函数的单调区间、极值、最值1.求函数单调区间的步骤:(1)确定f(x)的定义域;(2)计算导数f′(x);(3)求出f′(x)=0的根;(4)用f′(x)=0的根将定义域分成若干区间,判断f′(x)在各区间内的符号,进而确定f(x)的单

3、调区间.2.求函数极值的步骤:(1)求导数f′(x);(2)求f′(x)=0或f(x)不存在的所有点;(3)检查上面求出的x的两侧导数的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个点处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个点处取得极小值.3.求函数最值的步骤:(1)求函数f(x)在[a,b]上的极值;(2)极值与f(a),f(b)相比较,最大的为最大值,最小的为最小值.应用(2010·重庆高考)已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数.(1)求f(x)的表达式;(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,

4、2]上的最大值与最小值.提示:由函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数,可求得a,b.然后按照求最值的步骤求其最大值与最小值.专题三 利用求导法证明不等式、求参数范围等1.在用求导法证明不等式时,首先要构造函数和确定定义域,其次运用求导的方法来证明.2.一些求题中参数取值范围的问题,常转化为恒成立问题来解决.利用f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a和f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a的思想解题.3.解极值应用的问题一般分三个步骤:(1)建立函数关系式;(2)求所列函数关系式中可能取得极值的点;(3)具体作出判

5、断,得出结果.其中关键在于建立函数关系式,若所求函数只有一个极值点,一般就是要求的最大值(或最小值)点.应用1求证:lnx+-(x-1)2≥(1-x)3.提示:可利用构造函数求极值的方法予以证明,同时要注意到题中x>0这一隐含条件.应用2已知在函数f(x)=mx3-x的图象上,以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为.(1)求m,n的值.(2)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k-1996对于x∈[-1,3]恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k;如果不存在,请说明理由.提示:(1)切线的倾斜角为⇒切线的斜率为1,即函数f(x)=mx3-x在N(1,n)的导数为1

6、,从而求出m,进而求出n.(2)不等式f(x)≤k-1996对于x∈[-1,3]恒成立⇔f(x)最大值≤k-1996,解不等式即可求得k.真题放送1(2010·辽宁高考,理10)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(  )A.B.C.D.2(2011·湖南高考,文7)曲线y=-在点M处的切线的斜率为(  )A.-B.C.-D.3(2011·福建高考,文10)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于(  )A.2B.3C.6D.94(2011·浙江高考,文10)设函数f(x)=ax2

7、+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象是(  )5(2011·辽宁高考,文11)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(  )A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)6(2010·辽宁高考,文21)已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设a≤-2,证明对任意x1,x2∈(0,+∞),

8、f(x1)-f(x2)

9、≥4

10、x1-x2

11、.7(

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