高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 导数 3.1.3 导数的几何意义学案 新人教b版选修1-1

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1、3.1.3　导数的几何意义1．了解导数概念的实际背景．2．知道瞬时变化率就是导数．3．通过函数图象直观地理解导数的几何意义．1．瞬时变化率设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx________时，平均变化率趋近于一个______，则常数l称为函数f(x)在______的瞬时变化率．用趋近于符号“→”记作当Δx→0时，→l.这时，还可以说，当Δx→0时，函数平均变化率的极限等于函数在x0的__________．记作“＝l”．(1)运动的瞬时速度就是

2、路程函数y＝s(t)的瞬时变化率．(2)运动的瞬时加速度就是速度函数y＝v(t)的瞬时变化率．【做一做1－1】函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率为__________．【做一做1－2】一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则质点的初速度为__________．2．某点处的导数函数在x0的瞬时变化率，通常就定义为f(x)在x＝x0处的导数，并记作f′(x0)或y′

3、x＝x0.于是可写作________________＝f′(x0)．【做一做2】函数f(x)＝x2在x＝1处的导数为__________．3．导函数如果

4、f(x)在开区间(a，b)内每一点x处导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)内可导．这样，对开区间(a，b)内__________，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的________．记为f′(x)(或yx′、y′)．导函数通常简称为导数．如不特别指明求某一点的导数，求导数指的就是求导函数．函数f(x)在x0处可导，是指当Δx趋近于0时，趋近于某个常数(极限存在)，如果不趋近于某个常数(极限不存在)，就说函数在点x0处不可导，也说无导数．【做一做3】函数

5、f(x)＝x2的导函数(导数)为__________．4．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的__________．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率为f′(x0)，相应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．如果函数在x0处的导数不存在，则说明斜率不存在，此时切线方程为x＝x0.【做一做4】函数y＝x2在点(2,4)处的切线的斜率为__________．1．如何求函数y＝f(x)在点x0处的导数？剖析：(1)求函数的改变量Δy；(

6、2)求平均变化率；(3)取极限得导数f′(x0)＝.2．“函数在一点处的导数”“导函数”“导数”三者之间有何区别与联系？剖析：(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导数是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)．根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，

7、即f′(x0)＝f′(x)

8、x＝x0.3．“Δx→0”的意义．剖析：Δx与0的距离要多近有多近，即

9、Δx－0

10、可以小于给定的任意小的正数，但始终有Δx≠0.题型一导数的定义【例1】已知函数y＝f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值．(1)；(2).分析：利用函数y＝f(x)在点x0处可导的条件，可将给定的极限式变形成导数定义的结构形式来解决问题．导数定义中增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪种形式，Δy也应与之相对应．反思：解决此类问题应将给定的极限形式恒等变形转化为导数定义的结构形式即可解决．题型二求导数【例2】已知函数y＝

11、，求y′，y′

12、x＝1.分析：按求导数的步骤求解即可，但要注意变形的技巧．反思：函数的导数与在点x0处的导数不是同一概念，在点x0处的导数是函数的导数在x＝x0处的函数值．分子有理化是解决本题的一种重要的变形技巧，要认真体会．题型三利用导数求曲线的切线方程【例3】求曲线y＝在点处的切线的斜率，并写出切线方程．分析：利用导数的几何意义求斜率，然后用点斜式写出直线方程．反思：(1)求函数在某点处的切线方程的一般步骤：①求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；②根据点斜式得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．注意(x0，y0)

13、为曲线上的点并且是切点．(2)函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率；反之不成立．例如f(x)＝在点x＝0处有切线，但它不可导．题型四易错题