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《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的几何性质学案 新人教b版选修1-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.1.2 椭圆的几何性质1．掌握椭圆的几何性质．2．掌握椭圆中长半轴长，短半轴长，半焦距和离心率的几何意义以及它们之间的关系．焦点在x轴、y轴上的椭圆的几何性质与特征的比较：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程____________________范围______________________顶点________________________________轴长长轴长为______，短轴长为______焦点F1______，F2______F1______，F2______焦距___
2、_______对称性对称轴为________，对称中心为______离心率e＝____________，其中c＝________(1)判断曲线关于原点，x轴，y轴对称的方法．若把方程中的x换成－x，y换成－y，方程不变，则曲线关于原点对称．若把方程中的y换成－y，方程不变，则曲线关于x轴对称．若把方程中的x换成－x，方程不变，则曲线关于y轴对称．(2)椭圆的顶点是它与对称轴的交点．【做一做1－1】椭圆＋＝1的长轴长为( )A．5B．3C．6D．12【做一做1－2】椭圆＋＝1的离心率为______．椭
3、圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率．剖析：(1)椭圆的半焦距c与长半轴长a的比，称作椭圆的离心率．记作e＝.(2)因为a＞c＞0，所以离心率e的取值范围是0＜e＜1.离心率的大小对椭圆形状的影响：①当e趋近于1时，c趋近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁平；②当e趋近于0时，c趋近于0，从而b趋近于a，因此椭圆越接近于圆．椭圆与圆是两种不同的曲线，椭圆的离心率满足不等式0＜e＜1.当e＝0时，曲线就变为圆了．题型一利用椭圆的方程研究其几何性质【例1】求椭圆25x2＋16y2＝400的长轴长和短轴长、离心率、
4、焦点坐标和顶点坐标．分析：先把椭圆方程写成标准形式，求出基本元素长半轴长a、短半轴长b和半焦距c，再求解．反思：已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，找准长半轴长a与短半轴长b，求出半焦距c，才能正确地解决与椭圆的性质有关的问题．题型二利用椭圆的性质求它的方程【例2】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)，求椭圆的标准方程．分析：由于不知道椭圆的焦点在哪个坐标轴上，所以需要分两种情况来讨论．反思：在求椭圆的标准方程时，关键要分清焦点在哪个坐标轴上；当焦点不确定在哪个坐标轴上时
5、，要分焦点在x轴、y轴上两种情况讨论．题型三求椭圆方程中的参数【例3】已知方程＋y2＝1(a＞0，a≠1)表示离心率为的椭圆，求a的值．分析：由于不知道椭圆的焦点在哪个坐标轴上，所以需要分两种情况来讨论，再根据离心率为即可求得．反思：在求椭圆标准方程中的参数时，先要分清焦点在哪个坐标轴上，然后再根据椭圆的几何性质求解．本题所给方程中的a与椭圆标准方程中的a不同．1椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标为( )A．(－1,0)，(1,0)B．(－6,0)，(6,0)C．(－，0)，(，0)D．(0，－)
6、，(0，)2已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆的标准方程是( )A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1或＋＝1D．＋＝13椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有( )A．相同短轴B．相同长轴C．相同离心率D．以上都不正确4已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为__________．5已知椭圆过点(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程．答案：基础知识·梳理＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) －a≤x≤a，－b≤y≤b －a≤y≤a，－b≤x≤b A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，
7、－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 2a 2b (－c,0) (c,0) (0，－c) (0，c) 2c(c2＝a2－b2) x轴，y轴 原点 ∈(0,1) 【做一做1－1】D 由椭圆的方程可知长半轴长a＝6，所以长轴长2a＝12.【做一做1－2】典型例题·领悟【例1】解：将方程变形为＋＝1，由方程知长半轴长a＝5，短半轴长b＝4，所以半焦距c＝＝3，所以长轴长为2a＝2×5＝10，短轴长为2b＝2×4＝8.离心率e＝＝，焦点坐标分别为(0，－3
8、)，(0,3)，顶点坐标分别为(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)．【例2】解：当椭圆的焦点在x轴上时，设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则有解得此时椭圆的标准方程为＋＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则有解得此时椭圆的标准方程为＋＝1.故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.【例3】解：当焦点在x轴上，即a＞1时，由短半轴长b＝1，得半焦距c＝，所以离心率e＝＝＝，解得a＝.当焦点在y轴上，即0＜a＜1时，
