寒假专题——集合与函数

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1、知识点一：集合及其运算例1.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________人。思路分析：本题要借助集合的思想，并利用韦恩图来解决。解答过程：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12（人）。解题后的思考：对于研究集合元素的个数问题常借助韦恩图来解决。例2.已知集合A＝{x

2、x>1}，集合B＝{x

3、m≤x≤m＋3}（1）当m＝－1时，求A∩B，A∪B；（2）若BA，

4、求m的取值范围。思路分析：（1）将m＝－1代入求出集合B，再求其与集合A的交集和并集。（2）已知集合的包含关系，求参数的取值范围，关键要分析是否包含分界点。解答过程：（1）当m＝－1时，B＝{x

5、－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x

6、1

7、x≥－1}．（2）若BA，则m>1，即m的取值范围为（1，＋∞）。解题后的思考：借助数轴或韦恩图是解决有关集合问题常用的手段。小结：（一）主要知识：1.集合、子集、空集的概念；2.交集、并集、全集、补集的概念；3.，；4.，。（二）主要方法：1.求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或韦恩图的作用；2.含参

8、数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；3.集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键。知识点二：函数的概念及基本性质例3.若函数的定义域为，则的定义域为A.B．C.D.思路分析：本题已知的是函数的定义域，要求的是的定义域，那么弄清“x”与“log2x”的关系就成为解决本题的关键。解答过程：A答案错误地认为自变量都是“x”，所以取值范围也一致；B答案只考虑了“使对数成立”这一个条件，忽视了的定义域的限制作用；D答案求的是对数的值域，也是错误的。只有C答案抓住了问题的本质“x”与“log2x”的取值范围一致。故正确答案是C。解

9、题后的思考：复合函数的定义域：若已知的定义域为，其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为，求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）。在解答如函数的单调性、奇偶性、值域、解析式等问题时一定要养成定义域优先的意识。例4.已知函数，求使得的自变量的取值范围。思路分析：本题的难点在于其为分段函数，若本题的解析式唯一相信大家都会。但这也为我们找到了问题的突破口，那就是如何将分段函数转化成单一解析式的函数，方法当然是按区间进行分类讨论了。解答过程：当时，由，得，解得．．当时，由，得．解得．综上，自变量的取值范围是。解题后的思考：有关分段函数的处理方

10、法就是通过分类讨论将其转化成普通函数。例5.已知函数是定义在上的偶函数.当时，，求当时，的解析式。思路分析：本题已知的是时的解析式，要求的是时的解析式，关键在于如何将已知区间和未知区间建立联系，而偶函数正好能刻画这两个对称区间的关系，所以可通过偶函数这一条件达到求解目的。解答过程：当x∈（0，+∞）时，有-x∈（-∞，0），注意到函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，于是，有f（x）=f（-x）=-x-（-x）4=-x-x4。解题后的思考：解决此类问题首先应在未知区间设自变量，其次要找准它与已知区间的关系并进行过渡，最后得出结论。例6.设函数定义

11、在实数集上，则函数与的图象关于A.直线对称B.直线对称C.直线对称D.直线对称。思路分析：本题错点为易由题意得到，套用“若函数满足，则函数关于对称”的结论，从而得到函数关于直线对称的错误结论，须知这个结论是对同一个函数而言，而本题是关于两个函数的对称问题。解答过程：由图象变换可得到两个图象间的关系，函数是由函数的图象向右平移一个单位得到，而是由函数的图象关于y轴对称得到，再向右平移一个单位得到，故两函数的图象关于直线对称。故选D。解题后的思考：若把对称问题迁移到函数中，则有结论：函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称的充要条件是f（a-x）=f（a+x

12、）。但若函数满足y=f（a-x）和y=f（a+x），则它们的图象关于y轴对称。这是很容易混淆的。前者是一个函数图象自身关于直线x=a对称，后者是两个函数图象关于y轴对称。而函数图象关于直线对称，还有结论：函数y=f（b-x）与y＝f（a＋x）的图象关于直线x=（b-a）/2对称。若函数满足y=f（a-x）与y＝f（x-a），则f（x）的图象关于直线x＝a对称。例7.设a为实数，函数，，讨论函数的奇偶性。思路分析：此题在讨论函数的奇偶性的过程中，考生可能知道当时函数为非奇非偶函数，但因不知如何表述自己的判断而造成失分。因此面对一个数学结论时，要肯定它，就要

13、给予证明，要否定它，只需举出一个反例即可。解答过程：由于，故（1）当时，，函数为