基于数学史背景的微积分教学

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1、基于数学史背景的微积分教学摘要：微积分是在经济管理类专业普遍开设的一门公共数学课，也是一些学生“考研”的必考科目之一。然而，数学的抽象性和枯燥性使得许多学生望而生畏。数学史是研究数学发展过程与规律的科学。在微积分教学中，通过还原知识的历史背景，有意识地向学生介绍有关数学史的知识，如创立者的感人业绩、治学态度与方法，数学家的趣味故事，数学定义和定理的来龙去脉等等。将数学教学纳入到文化的轨道上来,可以使学生了解数学思想的形成过程，加深对数学本身的认识，力求知识的趣味性和思想性，尽量消除数学教学的枯燥性,让学生体验微积分的价值、欣赏微积分，促进学生对微积分的认知。关键词：微积分；数学史；背景；教

2、学；0前言微积分的诞生拉开了近代数学的序幕，推动了许多数学新分支的产生。微积分学是建立在实数、函数和极限的基础上的学科，是微分学和积分学的统称。微积分在内容和体系上与初等数学都截然不同，其高度的抽象性和严密的符号体系往往令学生不知所从。传统教材很少关注知识的形成过程和文化背景，把更多的注意力放在知识的逻辑结构上，而且与自然科学、社会科学及应用科学各个分支学科严重脱节，授课教师也多是注重知识传授的连贯性和严密的逻辑性推理体系。这些不利因素，严重影响了微积分教学的趣味性，减弱了学生对微积分这一学科的学习兴趣。感性材料和生动情境能够减少数学学科知识的抽象性，增加数学的灵动性和趣味性。在微积分教学

3、中结合数学史知识，通过历史背景知识的介绍，让学生全面了解微积分基本概念和定理的来龙去脉，对学习情景做整体性了解，知道知识发生、发展的过程，做好认知情感、态度上的准备，促进学生在已有的认知基础上同化、顺应、平衡微积分知识。同时引导学生发现数学的文化价值,尽量消除数学教学的枯燥性和抽象性，让学生体验微积分的价值、欣赏微积分的美，进而增强学生的使命感和目标感，吸引更多的学生热爱数学，变被动学习为主动学习。本文介绍基于数学史背景下，微积分教学的一些思考和尝试。1通过背景故事激发学习兴趣，加深对数学概念的理解兴趣是学习的第一原动力。孔子曰：“知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者”。我国著名的科学家

4、爱因斯坦也曾说过：“兴趣是最好的老师”5。学生只有对学习产生兴趣，才会产生强烈的求知欲望，从而把心理活动指向和集中在学习的对象上，感知觉活跃，注意力集中，观察敏锐，记忆持久而准确，思维敏锐而丰富，激发和强化学习的内在动力，调动学习的积极性而数学史中丰富的趣闻故事，是激发学生兴趣的有效资源。在微积分教学过程中，可以穿插数学史料中的有趣故事，不但可以激发学生的学习兴趣，还可以加深对数学概念、定理的理解。例如，在《无穷级数》新课的引入中，可以先向学生讲述“蠕虫与橡皮绳”运动悖论的故事：已知橡皮绳长1公里，一条蠕虫在橡皮绳的一端，蠕虫以每秒1厘米的均匀速度沿橡皮绳爬行，在1秒钟之后，橡皮绳就拉长到

5、了2公里，再过1秒钟后，它又拉长到3公里，这样继续下去。蠕虫最后究竟会不会到达橡皮绳的终点呢？同学们凭直觉会说：蠕虫不会爬到橡皮绳的终点。这时，教师可以告诉同学们蠕虫能爬到了终点的。同学们会对这样问题产生极大的兴趣，同时活跃了课堂气氛。老师接着说，我们尝试用数学公式表示蠕虫在第n秒末爬行的长度：由于1公里等于100000厘米，所以在第1秒末，蠕虫就爬行橡皮总绳长度的1/100000。在第2秒钟内，蠕虫爬了2公里橡皮绳的1/200000，在第3秒内，它又爬了3公里长橡皮绳的1/300000，如此下去，蠕虫爬行的长度可以表示为：(1/100000)×（1＋1/2＋1/3＋1/4＋……）。当n充

6、分大时，这个数能否超过1呢？停顿一下，告诉学生，我们可以找到这个正整数N，使上述结果成立。由这个出乎意料的结论引入正题：无穷数列1＋1/2＋1/3＋1/4＋……就是一个级数。由于这个级数是发散的，它的部分和我们要它有多大，就有多大。只要这个和超过100000，上面的表达式就超过1。再如，在《极限》概念教学中，我们可以向学生讲述“阿基里斯追乌龟”的背景故事：阿基里斯和乌龟赛跑，乌龟提前跑了200米距离，假设阿基里斯的速度是乌龟速度的10倍，这样当阿基里斯跑了200米时，到达了乌龟原来的出发点，而乌龟也向前跑了20米；当阿基里斯再向前跑20米时，乌龟也向前跑了2米，……，如果这样继续下去。可以

7、看出，被追赶者总是在追赶者的前面了，因为追赶者必须首先到达被追赶者的原来位置，所以可以得出结论，阿基里斯永远追不上乌龟！　这个结论与我们生活中的实际情况是不相符的。古希腊人之所以被这个问题困惑了几千年，主要的原因是，他把运动中的“无限过程”与“无限时间”相提并论、5混为一谈了。因为无限过程需要无限个时间段来计算的，而无限时间段的总和却可以是一个有限的数值。这个问题说明了古希腊人已经发现了“无穷小量”与“很小的量”这两个概