阅读材料数学史上的丰碑——微积分

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1、理科（平行班）数学限时练一、选择题（本大题共2小题，共10.0分）1.设函数在处可导，则A.B.C.D.【答案】C【解析】解：根据函数在处导数的定义，，故选：C．2.一物体A以速度沿直线运动，则当时间由变化到时，物体A运动的路程是A.B.53C.D.63【答案】C【解析】解：由题意可得，在和这段时间内物体A运动的路程是故选：C．由题意可得，在和这段时间内物体A运动的路程是，求解定积分得答案．本题考查了定积分，关键是对题意的理解，是基础题．3.由曲线和直线所围成的图形的面积A.18B.19C.20

2、D.21【答案】A第12页，共12页【解析】解：由曲线和直线，解得曲线 和直线的交点坐标为：选择y为积分变量，由曲线 和直线所围成的图形的面积，故选：A．先求出曲线 和直线的交点坐标，从而得到积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可．本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及会利用定积分求图形面积的能力应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的，属于基础题．1.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为A.B.C.

3、D.【答案】C【解析】解：根据题意，正方形OABC的面积为，而阴影部分由函数与围成，其面积为，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为；故选C．根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数与第12页，共12页围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．1.如图所示，正弦曲线，余弦曲线与两直线所围成的阴影部分的面积为A.1B.C.2D.【答案】D【解

4、析】解：由图形以及定积分的意义，得到所求封闭图形面积等价于；故选：D．由图形可知，阴影部分的面积等于正弦函数与余弦函数图形到的面积，所以利用此区间的定积分可求．本小题主要考查定积分的几何意义以及定积分的基本运算，对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求．2.已知函数，若在区间内恒成立，则实数a的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】解： 在内恒成立，在内恒成立．设，第12页，共12页时，，即在上是减少的，，，即a的取值范围是．故选：D．1.若函数在上是单调函数，则a的取值范围是A.B

5、.C.D.【答案】B【解析】解：由题意得，，因为在上是单调函数，所以或在上恒成立，当时，则在上恒成立，即，设，因为，所以，当时，取到最大值是：0，所以，当时，则在上恒成立，即，设第12页，共12页，因为，所以，当时，取到最大值是：，所以，综上可得，或，所以数a的取值范围是，故选：B．由求导公式和法则求出，由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范围．本题查求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，以及

6、恒成立问题的转化，考查分离常数法，整体思想、分类讨论思想，属于中档题．二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）1.设函数满足，则______．【答案】5【解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，根据导数的公式求出的值以及函数的解析式是解决本题的关键．求函数的导数，先求出的值，求出函数的解析式，即可得到结论．【解答】解：，，令，则，即，则，令，则，则第12页，共12页，即，则，故答案为5．1.已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．【答案】【解析】解：由图象特征可得，在上大于0，在

7、上小于0，或或，的解集为．故答案为：由函数的图象可得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而得不等式的解集．本题考查导数与函数单调性的关系，考查学生的识图能力，利用导数求函数的单调性是重点．2.定积分______．【答案】【解析】解：第12页，共12页，令，得，点的轨迹表示半圆，，表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的，故，．故答案为；．根据积分的法则，，分步计算，令，问题得以解决．本题考查定积分的几何意义，属基础题．1.在平面直角坐标系内，直线l：，将l与两坐标轴围成的封闭图形

8、绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为______．【答案】【解析】解：由题意可知：， ，．方法二：由题意可知绕y轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，则，故答案为．由题意此几何体的体积可以看作是：，求出积分即得所求体积，方法二由题意可得绕y轴旋转，形成的是以1为半径，2第12页，共12页为高的圆锥，根据圆锥的体积公式，即可求得所得几何体的体积．本题考查用定积分求简单几何体的体积，求解的关键是找出被积函数来及积分区间，属于基础题．1.若，则a的值是A.B.4C.或2D.2【答案】D【解析】解：，