数学史研究之微积分的发展论

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1、数学史研究之微积分的发展数学史，顾名思义，分开来理解，数学与历史，他的研究对象涉及到数学以及历史，所以和传统的数学研究方法又不同，他着重于研究过去历史上的数学方法，他又为我们展现了数学的一个发展过程，带我们走过了几千年的数学历史，从简单到复杂，逐步为我们剖析，使我们对数学的发展过程有了大概的了解。作为一个当代大学生，我想大家都有必要了解这些，数学在当今社会已变得越来越重要以及普遍，几乎涉及到每个方面，所以学好数学对每一个人的思维锻炼有很大好处。接下来，我想对数学史当中的一个问题进行研究——微积分的发展。谈到数学分析，每个大学生应该都知道，这是大学数学系必修的基础

2、学科。而其中微积分又是重中之重，贯穿整个数学分析，以及其他理工课程。学好微积分，对深入学习一些课程很重要。微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在18世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念上和方法上都具有鲜明特点的数学领域。在数学史上，18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过度的重要时期。　微积分学的触角几乎遍至当今科学的各个角落,是当代科学大厦的基石,微积分的发展过程是数学家集体智慧的结晶。微积分的发展大致可分为以下4个阶段:早期萌芽时期,酝酿时期,创建期,发

3、展完善期。一：早期萌芽微积分，顾名思义，涉及到微分与积分，他们的发展是独立的，以下是对他的一些分析。1.积分学积分学的思想萌芽可以追溯到古代,因为面积与体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的课题,这里介绍几位具有突出贡献的数学家以及他们的学术理论,他们的理论代表着数学研究的思想、精神和方法。古希腊数学家欧多克斯(约公元前410-前347年)发展安提丰的“穷竭法”为“设给定两个不相等的量,如果以较大的量减去比它的一半大的量,再以所得量减去比这个量的一半大的量,继续重复这一过程,必有某个量将小于给定的较小的量”。欧多克斯的穷竭法可看作微积分的第一步,但没有明确地用

4、极限概念,也回避了“无穷小”概念,并证明了“棱椎体积是同等同高的棱柱体积的三分之一”。古希腊数学家阿基米德(公元前287——公元前212)在《处理力学问题的方法》一文中阐明了“平衡法”,即“将需要求积的量(面积、体积等)分成许多微小单元(如微小线段、薄片等),再用另一组微小单元来进行比较,而后一组小单元的总和是可以计算的,但它要借助于杠杆的平衡原理来计算”。实质上“平衡法”是一种原始的“积分法”。阿基米德用“平衡法”证明了球体积公式:球体积=,且等于外切圆柱体积的。中国数学家刘徽(生于公元263年),发明了“割圆术”——“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可

5、割,则与圆合体而无所失矣”,并求得圆周率π≈3.14。祖暅(5世纪-6世纪),解决了刘徽绞尽脑汁未果的求球体积问题,祖暅用的方法是祖氏定理“幂势既同,则积不容异”和“岀入相补原理”,祖暅的球体积公式为V球=(D为球的直径)。2.微分学与积分学相比,微分学的起源则要晚得多,早期应用微分学思想是静止的,不是动态的,与现代微积分相差甚远。二：酝酿时期15,16世纪在欧洲文艺复兴的高潮中,数学的发展与科学的革命紧密结合在一起,提出了以下亟待解决的问题:(1)如何确定非匀速运动物体的速度与加速度及瞬时变化率问题。(2)望远镜的设计需要确定透镜曲面上任意一点的法线,求任意曲

6、线切线的连续变化问题。(3)确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题。(4)行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计算等。为解决科学发展所带来的一系列问题,17世纪上半叶被人们遗忘千年的微积分重又成为重点研究对象,几乎所有的科学大师都竭力寻求这些问题的解决方法,有代表性的成果有以下几个方面:1.开普勒与旋转体体积德国天文学家、数学家开普勒(1571-1630)在1615年发表的《测量酒桶的新立体几何》中,采用“用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积”。例如,他认为球的体积是无数个小圆

7、锥的体积的和,这些圆锥的顶点在球心,底面则是球的一部分;他又把圆锥面看作极薄的圆盘之和,并由此计算出它的体积,然后得出球体体积为:球的半径乘以球面面积的三分之一(V=R×4×)。2.卡瓦列里不可分量原理意大利数学家卡瓦列里(1598-1647)在《用新方法促进的连续不可分量的几何学》中发展了系统的不可分量方法:“两个等高的立体,如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之比为定值,那么这两个立体的体积之间也有同样的比”(当比为1:1时,就是祖原理,只不过相差1000多年),并于1639年利用平面上不可分量原理建立了等价于积分的基本结果,使早期积分突破体积

8、计算的现实原型而向一般算