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1、导数知识点归纳及应用●知识点归纳一、相关概念1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’
2、。即f（x）==。说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤：①求函数的增量=f（x+
3、）－f（x）；②求平均变化率=；③取极限，得导数f’(x)=。例：设f(x)=x
4、x
5、,则f′(0)=.[解析]：∵∴f′(0)=02．导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。例：在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是()A．3B．2C．1D．0[解析]：切线的斜率为又切线的倾斜角小于，即故解得：故没有坐标为整数的点3.导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s（t），那么该
6、物体在时刻t的瞬间速度v=（t）。如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v′（t）。例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（）stOA．stOstOstOB．C．D．答：A。练习：已知质点M按规律做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）。（1）当t=2，时，求；（2）当t=2，时，求；（3）求质点M在t=2时的瞬时速度。答案：（1）8.02（2）8.002；（3）8二、导数的运算1．基本函数的导数公式:①（C为常数）②③;④;⑤⑥;⑦;⑧.例1：下列求导运算正确的是()A．
7、(x+B．(log2x)′=C．(3x)′=3xlog3eD．(x2cosx)′=-2xsinx[解析]：A错，∵(x+B正确，∵(log2x)′=C错，∵(3x)′=3xln3D错，∵(x2cosx)′=2xcosx+x2(-sinx)例2：设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝()A．sinx B．－sinx C．cosxD．－cosx[解析]：f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)=cosx，f2(x)＝f1′(x)=-sinx，f3(x)＝f2′(x)=-cosx，f4(x)
8、＝f3′(x)=sinx，循环了则f2005(x)＝f1(x)＝cosx2．导数的运算法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：（v0）。例：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是()A．(-3,0)∪(3,
9、+∞)B．(-3,0)∪(0,3)C．(-∞,-3)∪(3,+∞)D．(-∞,-3)∪(0,3)[解析]：∵当x＜0时,＞0，即∴当x＜0时，f(x)g(x)为增函数，又g(x)是偶函数且g(3)=0，∴g(-3)=0，∴f(-3)g(-3)=0故当时，f(x)g(x)＜0，又f(x)g(x)是奇函数，当x>0时，f(x)g(x)为减函数，且f(3)g(3)=0故当时，f(x)g(x)＜0故选D3.复合函数的导数形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——>求导——>回代。法则：y＇
10、=y＇
11、·u＇
12、或者.练习：求下列各函数的导数：（1）（2）（3）（4）解：(1)∵∴y′（2
13、）y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.（3）∵y=∴（4），∴三、导数的应用1.函数的单调性与导数（1）设函数在某个区间（a，b）可导，如果，则在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒有，则为常数。例：函数是减函数的区间为()A．B．C．D．（0，2）[解析]：由<0，得0
