导数的应用归纳

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1、2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编1+兀一e1—x第十三章《导数》之三25-(全国卷I)(I)设a>0,讨论y=)的单调性;(II)若对任意xg(0,1)恒有/(%)>!,求°的取值范围。+2解(I)f(x)的定义域为(一g,l)U(l,+8).对f(x)求导数得「(X戶(]_x)2e~ax2v4-v1+xf(x)=e~ax^T2—>1.综上当且仅当aG(—8,2]时，对任意xe(OJ)恒有f(x)>l.1X1X26.(全国卷I)设。为实数，函数f(x)=x3-ax2-l)x在(yo,0)

2、和(l,4oo)都是增(i)当a=2时，「(x)二(]_x)2e~2x,fx)在(一8,0),(0,1)和(1,+8)均大于o,所以f(x)在(一°°,1),(1,+8).为增函数.(ii)当00,f(x)在(一8,1),(1,+8)为增函数.a—2(ii)当a>2时，取x°=*字W(0,l),则由(I)知f(xo)2时,0<^—<1,令f*(x)=O>得X

3、二-d(iii)当aWO时,对任意xW(0,l),恒有严>1且严勿,得1Xi)若厶=12—8

4、aM),即a二土誓,当X丘(_8,》,或XG(务+8)时,f(X)>O,f(X)在(一8,+8)为增函数.所以a二土誓.(ii)^A=12—8a2<0；E有f(x)>O,f(x)在(一汽+8)为增函数，所以a2>

5、,即aW(-8,_¥)u(¥+oo)(iii)若△12—8a?>0,即一芈vav乎,令f(x)=0,解得X]——应一“刃；由X2WI得寸3—2a?W3—a,解得一从而aW[l,誓)当xW(—8,xJ,或xG(X2,+8^f(x)>0,f(x)%增函数;当XW(X],X2)时,f(x)vo,f(x

6、)为减函数.依题意x&O且X2W1.由x&O得a^y)3—2a2懈得1Wav誓u[爭,+8)U[l,爭综上,a的取值范围为(一°°,一a£(—8,—誓]U[l,8).27.(全国II)设函数Xx)=a+l)ln(x+l),若对所有的兀30,都有J(x&ax成立，求实数a的取值范围.解法一：令g(x)=(兀+l)ln(兀+1)—ar,对函数£(x)求导数：Q(x)=ln(x+1)+1—a令g'(x)=0,解得x=e'—L⑺当aWl时，对所有x>0,g《Y)>0,所以g(x)在[0,+8)上是增函数，又g(0

7、)=0,所以对兀20,都有g(03g(O),即当dWl时，对于所有兀2(),都有.心)鼻处.(力)当。>1时，对于01时，不是对所有的都有J(x)^ax成立.综上，a的取值范围是(一8,1].解法二：令g(兀)=(兀+l)ln(x+1)—ar,于是不等式J(x)^ax成立即为g(x)2g(0)成立.对函数g⑴求导数：g©)=ln(x+l)+l—a令g'(x)=0

8、，解得—1，当兀〉厂1一1时，g，(兀)>0,g(x)为增函数，当一1<0(兀)<0,g(x)为减函数，所以要对所有都有g(x)$g(0)充要条件为ea~}~W0・由此得aWl,即a的取值范围是(一8,1].28.(山东卷〉设函^(fix)=ax—(a+1)ln(x+1),其中求心)的单调区间。解：由已知得函数fd)的定义域为(―1,+8),且八x)=4L(an_l),X+1(1)当—IWaWO时，/(x)<0,函数/(x)在(-1,+od)上单调递减,(2)当。〉0吋，由f(x)=0,解得x=—.a/

9、（x）＞/（x）随兀的变化情况如下表X(-1,-)a1a(丄,+00)a/（X）—0+/（兀）极小值/从上表可知当xe（-l,-）时，f（兀）＜0,函数/（兀）在（―1,丄）上单调递减aa当兀w（丄,+00）时，/'（X）＞0,函数/（兀）在（丄,+8）上单调递增.aa综上所述：当—ISgSO时，函数f（x）在（-1,4-00）上单调递减.当。〉0时，函数/（兀）在（-1,-）上单调递减，函数/（兀）在（-,+oo）上单调递增.aa27.〈山东卷〉设函数f（x）二2兀3-3（。-1）兀2+1,其中心1・（

10、I）求f（x）的单调区间；（II）讨论f（x）的极值.解：由已知得f（x）=6x［x-（a-1）］»令/（x）=0,解得占=0,兀2=。一1.（I）当0=1吋，/（X）=6X2,/（X）在（Y0,+00）上单调递增当Q＞1时,f（兀）=6兀［兀一仗一1）］,/（A/（x）随兀的变化情况如下表：(一00,0)0（0卫一1）a-(6?-1,4-00)+0—0+7极大值极小值7从上表可知，函数/（兀）在（-00,0）上单调递增；在