（宜宾专版）2018届中考数学 第3编 创新分类突破篇 题型3 函数的综合题（精讲）试题

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1、题型三　函数的综合题纵观近几年全国各地的中考数学试卷，函数的命题放在各个位置都有，突出考查同学们的数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题．所考题型无所不包，同时不断与其他数学知识相互渗透，题量不一定是最多的，但综合程度一定是最高的．函数的本质特征是变化与对应，它是表示、处理数量关系以及变化规律的有效工具．作为刻画变量变化规律的工具，函数的各种形式体现了“函数知识”与“函数思想”的统一．“函数”除了包括函数的概念、正比例函数、一次函数、反比例函数及二次函数等具体知识外，其自身还蕴含着方程与不等式的知识．函数是初中数学的核心内容、重要的基础知识．它与数学其他知识有着更为广泛的联系，不仅

2、有着极为广泛的应用，而且也是发展同学们符号感的有效载体．宜宾市近几年的中考题中，函数一直是“重头戏”，分值偏高．从基础题到压轴题，都出现过跟函数知识有关的题目．【例1】如果两个变量x，y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是(　　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A．－3≤y≤3B．0≤y≤2C．1≤y≤3D．0≤y≤3【解析】根据图象，找到y的最高点是(－2，3)及最低点是(1，0)，确定函数值y的取值范围．【答案】D【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是会观察图象，找到y的最高点及最低点．【例2】给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn－1.例如：若函数y＝x4

3、，则有y′＝4x3.已知函数y＝x3，则方程y′＝12的解是(　　　)A．x1＝4，x2＝－4　B．x1＝2，x2＝－2C．x1＝x2＝0　　D．x1＝2，x2＝－2【解析】首先根据新定义(高中导函数的定义)求出函数y＝x3中的n，再与方程y′＝12组成方程组得出：3x2＝12，用直接开平方法解方程即可．【答案】B【点评】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，同时还以新定义的形式考查了学生的阅读理解能力，此新定义是高中导函数的定义；注意：①二次项系数要化为1，②根据平方根的意义开平方时，是两个解，且是互为相反数，不要丢解．【例3】在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为

4、“中国结”．(1)求函数y＝x＋2的图象上所有“中国结”的坐标；(2)若函数y＝(k≠0，k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；(3)若二次函数y＝(k2－3k＋2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k(k为常数)的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包含有多少个“中国结”？【解析】(1)因为x是整数，x≠0时，x是一个无理数，所以x≠0时，x＋2不是整数，所以x＝0，y＝2，据此求出函数y＝x＋2的图象上所有“中国结”的坐标即可；(2)首先判断出当k＝1时，函数y＝(k≠0，k为常数)

5、的图象上有且只有两个“中国结”：(1，1)，(－1，－1)；然后判断出当k≠1时，函数y＝(k≠0，k为常数)的图象上最少有4个“中国结”，据此求出常数k的值与相应“中国结”的坐标即可；(3)首先令(k2－3k＋2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k＝0，则[(k－1)x＋k][(k－2)x＋(k－1)]＝0，求出x1，x2的值是多少；然后根据x1，x2的值是整数，求出k的值是多少；最后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包含有多少个“中国结”即可．【答案】解：(1)∵x是整数，x≠0时，x是一个无理数，∴x≠0时，x

6、＋2不是整数，∴x＝0，y＝2，即函数y＝x＋2的图象上“中国结”的坐标是(0，2)；(2)①当k＝1时，函数y＝(k≠0，k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”：(1，1)，(－1，－1)；②当k＝－1时，函数y＝(k≠0，k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”：(1，－1)(－1，1)；③当k≠±1时，函数y＝(k≠0，k为常数)的图象上最少有4个“中国结”：(1，k)，(－1，－k)，(k，1)，(－k，－1)，这与函数y＝(k≠0，k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”矛盾．综上所述，k＝1时，函数y＝(k≠0，k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”：(1，1)，(－1，－1

7、)；k＝－1时，函数y＝(k≠0，k为常数)的图象上只有两个“中国结”：(1，－1)，(－1，1)；(3)令(k2－3k＋2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k＝0，则[(k－1)x＋k][(k－2)x＋(k－1)]＝0，∴∴k＝＝，整理，可得x1x2＋2x2＋1＝0，∴x2(x1＋2)＝－1，∵x1，x2都是整数，∴或∴或①当时，∵＝1，∴k＝；②当时，∵＝－1，∴k＝k－1，无解；综上，可得k＝，x1