《函数极限概念》word版

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1、第三章函数极限§1函数极限概念一趋于时函数的极限设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量趋于时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数。例如，对于函数x=5:50;y=1./x;plot(x,y,'r'),axis([5,55,0,0.22])74从图象上可见，当无限增大时，函数值无限地接近于0；74而对于函数，则当趋于时函数值无限地接近于。我们称这两个函数当时有极限。clf,x=0:50;y=atan(x);plot(x,y,'r'),axis([0,55,0,1.7])一般地，当趋于时函数极限的精确定义如下：74定义1设定义在上的函数，为定数

2、。若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作或。在定义1中正数的作用与数列极限定义中的相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比大的所有实数，而不仅仅是正整数。因此，当趋于时函数以为极限意味着：的任意小邻域内必含有在的某邻域内的全部函数值。定义1的几何意义如下图所示，M74对任给的，在坐标平面上平行于轴的两条直线与，围成以直线为中心线、宽为的带形区域；定义中的“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域之内。如果正数给的小一点，即当带形区域更窄一点，那么直线一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数，使得曲

3、线在直线的右边部分全部落在这更窄的带形区域内。74现设为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近某定数，则称当或时以为极限，分别记作或或这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，只须把定义1中的“”分别改为“”或“”即可。显然,若为定义在上的函数，则（1）74例1证明。证任给，取，则当时有所以。例2证明：1）；2）证任给，由于74（2）等价于，而此不等式的左半部分对任何都成立，所以只要考察其右半部分的变化范围。为此，先限制，则有故对任给的正数，只须取，则当时便有（2）式成立。这就证明了1）。类似地可证2）。注由结论（1）可知，当时不存在极限。二趋于时

4、函数的极限74设为定义在某个空心邻域内的函数。现在讨论当趋于时，对应的函数值能否趋于某个定数。这类函数极限的精确定义如下：定义2（函数极限的定义）设函数在某个空心邻域内有定义，为定数。若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作或。下面我们举例说明如何应用定义来验证这种类型的函数极限。请读者特别注意以下各例中的值是怎样确定的。74例3设，证明。证由于当时，，故对给定的，只要取，则当时有。这就证明了。例4证明：1）；2）证先建立一个不等式：当时有（3）事实上，在如图3-2的单位圆内，当时，显然有74，即，由此立得（3）式。又当时有，故

5、对一切都有；当时，由得。综上，我们又得到不等式，（4）其中等号仅当时成立。现证1）。由（4）式得。对任给的，只要取，则当时，就有。74所以。2）的证明留给读者作为练习。例4证明。证当时有若限制于（此时），则。于是，对任给的，只要取，则当时，便有。例5证明（）证由于，，因此74于是，对任给的（不妨设），只要取，则当时，就有。应用定义还立刻可得，这里为常数，为给定实数。通过以上各个例子，读者对函数极限的定义应能体会到下面几点：741．定义2中的正数，相当于数列极限定义中的，它依赖于，但也不是由所唯一确定，一般来说，愈小，也相应地要小一些，而且把取得更小些也

6、无妨。如在例3中可取或等等。2．定义中只要求函数在某一空心邻域内有定义，而一般不考虑在点处的函数值是否有定义，或者取什么值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于过程中函数值的变化趋势。如在例3中，函数在点是没有定义的，但当时的函数值趋于一个定数。3．定义2中的不等式等价于，而不等式等价于。于是，定义又可写成：任给，存在，使得对一切有。或更简74单地表为：任给，存在，使得。4．定义的几何意义如图3-3所示。对任给的，在坐标平面上画一条以直线为中心线、宽为的横带，则必存在以直线为中心线、宽为的竖带，使函数的图象在该竖带中的部分落在横带内，但点可能例外

7、（或无意义）。单侧极限有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同（如分段函数定义域上的某些点），或函数在某些点仅在其一侧有定义（如在定义区间端点处），这时函数在那些点上的极限只能单侧地给出定义。74例如，函数（5）当而趋于0时，应按来考察函数值的变化趋势；当而趋于0时，应按来考察。又如函数在其定义区间端点处的极限，也只能在点的右侧和点的左侧来分别讨论。定义3设函数在内有定义，为定数。若对任给的，存在正数，使得当（或）时有则称为函数当趋于（或）时的右左极限，记作（）或（74右极限与左极限统称为单侧极限。在点的右极限与左极限又分别记为按定义3容易验证

8、函数（5）在的左右极限分别为。同样还可验证符号函数在的左右极限分别为74例4讨论在定义区间端点