资源描述：
《《数列极限的概念》word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第二章数列极限§1数列极限概念教学目标：1°使学生初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与外延；2°使学生学会用定义证明极限的基本方法；3°通过知识学习，加深对数学的抽象性特点的认识；体验数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学“符号化”的意义及“数形结合”方法；4°了解我国古代数学家关于极限思想的论述，增强爱国主义观念。我们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去研究运动，即如果仅仅把运动看成物体在某一时刻在某一地方，那我们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目的，我们就事实上还没有脱离初等数学的领域，只有我们用动态的观点揭示出函数y＝f（x）所确定的两个
2、变量之间的变化关系时，我们才算真正开始进入高等数学的研究领域。极限是进入高等数学的钥匙和工具。我们从最简单的也是最基本的数列极限开始研究。1数列极限的概念课题引入1°予备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。2°数列极限来自实践，它有丰富的实际背景。我们的祖先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念例1战国时代哲学家庄周所著的《庄子。天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根一尺长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列,如图所示,其长度组成的数列为,n=10;x=0:n;y=
3、1./2.^x;x1=[0:n];y1=1./2.^x;line([x1;x1],[0*x1;y1],'linewidth',5)axis([-1,n+1,0,1.1])分析：1°、随n增大而减小，且无限接近于常数0；2°数轴上描点，将其形象表示：101/21/4-1将其一般化，即引出“数列极限”概念例2三国时期，我国科学家刘徽就提出了“割圆求周”的思想:用直径为1的圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长，再平分各弧量出内接正十二边形的周长，这样无限制的分割下去，就得到一个（内接多边形的周长组成的）数列.EBanan+1AD=)用Matlab计算和图示如下：（c
4、12(n)）clf,n=5;t=0:2*pi/n:2*pi;r=1*ones(size(t));fori=1:n;forj=6*2^i;endz=j*sin(pi./i);endpolar(t,r);可以看出，随着的无限增大，无限地接近圆的周长。这正如刘徽所说“割之弥细，所失弥小，割之又割，以之不可割，则与圆合体而无所失矣”这两个数列有一个共同的特征，都存在一个常数，当充分大时，充分的小，即不管事先给多么小的一个正数，比如0.1,0.01,0.001…,我们都能找到一个相应的自然数，当时clf,n=30;k=1:n;ak=1./k;plot(k,ak,'r.'),
5、holdonplot([0,n],[0,0])axis([1,n,-0.5,1])由此，可给出数列的定义：对于数列，设A是一个常数，若任给，都存在相应的自然数时，，则称A为数列的极限。下面我们通过图示，对数列定义作几点说明：二数列极限定义1°将上述实例一般化可得：对数列，若存在某常数a，当n无限增大时，an能无限接近常数a，则称该数为收敛数列，a为它的极限。例如：，a=0；，a=3;，a不存在，数列不收敛；，a不存在，数列不收敛；2°将“n无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N，当n＞N时”将“an无限接近a”，数学“符号化”为：任给ε＞0，＜ε例如对以3为极限
6、，对ε=，要使=只需取N=10，即可3°“抽象化”得“数列极限”的定义定义：设是一个数列，a是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在某一自然数N，使得当n＞N时，都有＜ε则称数列收敛于a，a为它的极限。记作｛(或an→a,(n→))说明（1）若数列没有极限，则称该数列为发散数列。（2）数列极限定义的“符号化”记法：＞0，时，有（3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意的，但在求N时，又可视为是给定的，由“任意性”可知，不等式＜ε，可用，，……来代替“＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？）（4）上述定义中N的双重性：N是仅依赖于ε的自然数，有时记作，这并非说明N是ε
7、的函数：N是对应确定的！但N又不是唯一的，只要存在一个N，就会存在无穷多个N（5）如何用肯定的语气叙述：，尽管，但（6）如何用肯定的语气叙述，数列发散：，，尽管，但（7）的几何意义：a-εaa+ε即a的任给ε邻城，都存在一个足够大的确定的自然数N，使数列中,所有下标大于N的,都落在a的ε邻城内；或a的任一ε邻城外，最多只有数列中的有限项。例设则数列也收敛于证明因为，由极限的几何定义，的任意邻域外最多只有数列和数列的有限项，从而的任意邻域外最多只有数列的有限项，所以也收敛于。三、用极限定义证明的例题例1.证明（K为正实数）证：由于所以ε＞0，取,当时,便有∴例2.证
8、明分析，要
