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1、第二章数列极限§2.1数列极限的概念§2.2收敛数列的性质§2.3数列极限存在的条件§2.1数列极限的概念一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四、应用数列极限的定义证明数列极限的方法一、概念的引入引例1如何用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.A1A2A3A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,,.显然n越大,An越接近于S.因此,需要考虑当n时,An的变化趋势.2、截丈
2、问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的定义例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列极限来自实践，它有丰富的实际背景.我们的祖先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念例1战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根一尺长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列,如图所示,三、数列的极限（c11(k)）其长度组成的数列为,024681000.20.40
3、.60.81随着n无限的增加,木棒的长度无限的趋近于零。例如当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为数列极限的通俗定义三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的
4、观察:当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,
5、xn-a
6、无限接近于0.当n无限增大时,
7、xn-a
8、可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,
9、xn-a
10、能小于事先给定的任意小的正数.分析因此,如果n增大到一定程度以后,
11、xn-a
12、能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近于常数a.当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则数列{xn}收敛a.下页数列极限的精确定义设{xn}为一数列如果存在常数a对于任意给定的正数e总存在正整数N使得当n>
13、N时不等式
14、xna
15、16、xna
17、.极限定义的简记形式如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：几何解释:其中注①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质，用
18、xn－a
19、＜ε定量地刻画了xn与a之间的距离任意小，即任给ε＞0标志着“要多小”的要求，用n＞N表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数N，
20、30，不等式
21、xn－a
22、＜ε（n＞N）②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn逼近a时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过ε的相对固定性来实现）。③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由
23、xn－a
24、＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn以a为极限时，
25、关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n＞N时，不等式
26、xn－a
27、＜ε成立。在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示
28、xn－a
29、＜εn＞N④定义中的不等式
30、xn－a
31、＜ε（n＞N）是指下面一串不等式都成立，而对则不要求它们一定成立数列极限的几何意义使得N项以后的所有项都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的
32、“收敛”。OK!N找到了！！n>N目的：NO,有些点在条形域外面！●●●●●●●●●●●●●●●●●●数列极限的演示N数列极限的演示e越来越小，N越来越大！数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：分析:例1证明下页0,NN当nN时有
33、xna
34、.利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式
35、xn－a
36、＜ε不易考虑，往往采用把
37、x
