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1、第一章函数与极限函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。§1、函数一、集合、常量与变量1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C……等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素，就记aM（读a属于M）；若事物a不是集合M的一个元素，就记aM或aM（读a不属于M）；集合有时也简称为集。注1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。2：集合的表示方法：3：全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R。以后不特别说明的
2、情况下考虑的集合均为数集。4：集合间的基本关系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有，必有，就称A为B的子集，记为,或(读B包含A)。显然：.若,同时,就称A、B相等,记为A=B。5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}。6：不含任何元素的集称为空集,记为,如：{}=,{}=,空集是任何集合的子集,即。7：区间：所有大于a、小于b＜的实数组成一个集合,称之为开区间,记为(a,b),即(a,b)=。同理：[a,b]=为闭区间，和分别称为左闭右开、左开右闭的区间，统称为半开区间。以上均成为有限区间，a、b分别称为左、右端点。对无穷区间有：，在
3、不特别要求下，有限区间、无限区间统称为区间，用I表示。8：邻域：设a和为两个实数，且0.集合称为点a的邻域，记为,a为该邻域的中心，为该邻域的半径，事实上，。同理：我们称为a的去心邻域，或a的空心邻域。9：集合的内容很多，其它内容(如集合的运算)在此不作一一介绍了。2、常量与变量：在自然科学中，我们会遇到各种不同的量，然而在观察这些量时，发现有着非常不同的状态，有的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量；又有些量有变化，可取各种不同的数值，这种量称为变量。【例】掷同一铅球数次，发现铅球的质量、体积为常量，而投掷距离、上抛角度、用力大小均为变量。注1：常量与变量是相对而言的，
4、同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量，如在一天或在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量和变量，然而，一旦环境确定了，同一量不能既为常量又为变量，二者必居其一。2：常量一般用a,b,c……等字母表示，变量用x,y,u,t……等字母表示，常量a为一定值，在数轴上可用定点表示，变量x代表该量可能取的任一值，在数轴上可用动点表示，如：表示可代表中的任一个数。一、函数的概念【例】正方形的边长与面积之间的关系为：，显然当确定了，也就确定了。这就是说，同一过程中变量之间往往存在着某种内在的联系。它们在遵循某一规律时相互联系、相互约束着。定义：设和为两个变量，，为
5、一个给定的数集，如果对每一个，按照一定的法则变量总有确定的数值与之对应，就称为的函数，记为.数集称为该函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量。当取数值时，依法则的对应值称为函数在时的函数值。所有函数值组成的集合称为函数的值域。注1：函数通常还可用等表示。2：约定：函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值的全体。【例1】的定义域为，值域为。【例2】的定义域为，值域为。【例3】的定义域为，值域为。【例4】的定义域为，的定义域为，从而显然。3、若对每一个，只有唯一的一个与之对应，就称函数为单值函数；若有不止一个与之对应，就称为多值函数。如：等。以后若不特别声明，只讨论单值函数
6、。4、函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍，它是借助于数学式子来表示对应法则，上例均为解析法，注意例3的法则是：当自变量在上取值，其函数值为；当取0时，；当在上取值时，其函数值为。（这种函数称为分段函数，在以后经常遇见，希望注意！）尽管有几个不同的算式，但它们合起来只表示一个函数！5、对中任一固定的，依照法则有一个数与之对应，以为横坐标，为纵坐标在坐标平面上就确定了一个点。当取遍中的每一数时，便得到一个点集，我们称之为函数的图形。换言之，当在中变动时，点的轨迹就是的图形。【例5】书上的几个例子。（同学们自己看）【例6】例3的图形如下图一、函数的几种特性1、函数
7、的有界性：设在上有定义，若对，使得：，就称在上有界，否则称为无界。注：1、若对，，使得，就称在上有上(下)界。在上有界在上同时有上界和下界。2、在上无界也可这样说：对，总，使得。【例7】上段例1、3、4中的函数是有界的；例2中的函数是无界的，但有下界。2、函数的单调性：设函数在区间上有定义，若对，当时总有：（1），就称在上单调递增，特别当严格不等式成立时，就称在上严格单调递增。（2），就称在上单调递减，特别当严格不等式成立时，就称在上严格单调递减。注：1、
