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1、函数·极限·连续一.填空题(经济类)1.设,则a=________.解.可得=,所以a=2.2.=________.解. <<所以 <<,(n®¥),(n®¥)所以 =一.填空题(经济类)1.设,则a=________.解.可得=,所以a=2.2.=________.解. <<所以 <<,(n®¥),(n®¥)所以 =3.已知函数 ,则f[f(x)]_______.解.f[f(x)]=1.4.=_______.解. =5.已知当x®0时,为x的3阶无穷小,则a=____,b=___.解.= = .所以2b+1=0,b=,
2、a=.6.=______.解.7.已知(¹0¹¥),则A=______,k=_______.解.所以 k-1=1990, k=1991; 二.选择题(经济类)1.设f(x)和j(x)在(-¥,+¥)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)¹0,j(x)有间断点,则(a)j[f(x)]必有间断点(b)[j(x)]2必有间断点(c)f[j(x)]必有间断点(d)必有间断点解.(a)反例 , f(x)=1,则j[f(x)]=1(b)反例 ,[j(x)]2=1(c)反例 , f(x)=1,则f[j(x)]=1(d)反设 g(x)=
3、在(-¥,+¥)内连续,则j(x)=g(x)f(x)在(-¥,+¥)内连续,矛盾.所以(d)是答案.2.设函数,则f(x)是(a)偶函数 (b)无界函数 (c)周期函数 (d)单调函数解.(b)是答案.3.当x®1时,函数的极限是(a)等于2 (b)等于0 (c)为¥ (d)不存在但不为¥解., ,所以(d)为答案.4.极限的值是(a)0 (b)1 (c)2 (d)不存在解.=,所以(b)为答案.5.设,则a的值为(a)1 (b)2 (c) (d)均不对解.8== =, ,所以(c)为答案.6.
4、设,则a,b的数值为(a)a=1,b= (b)a=5,b= (c)a=5,b= (d)均不对解.(c)为答案.7.设,则当x®0时(a)f(x)是x的等价无穷小 (b)f(x)是x的同阶但非等价无穷小(c)f(x)比x较低价无穷小 (d)f(x)比x较高价无穷小解.=,所以(b)为答案.8.设,则a的值为(a)-1 (b)1 (c)2 (d)3解.,1+a=0,a=-1,所以(a)为答案.9.设,则必有 (a)b=4d (b)b=-4d (c)a=4c (d)a=-4c解.2==,所
5、以a=-4c,所以(d)为答案.三.计算题(经济类)1.求下列极限(1)解.(2)解.令=(3)解. = ==.2.求下列极限(1)解.当x®1时,,.按照等价无穷小代换 (2)解.方法1:== === = = =方法2: == == = ==3.求下列极限(1)解. (2)解. (3),其中a>0,b>0解. =4.设 , 试讨论f(x)在x=0处的连续性与可导性.解.= === ===所以,所以f(x)在(-¥,+¥)可
6、导,所以f(x)在(-¥,+¥)连续.5.求下列函数的间断点并判别类型(1)解., 所以x=0为第一类间断点.(2)解. 显然,所以x=1为第一类间断点;,所以x=-1为第一类间断点.(3) 解.f(+0)=-sin1,f(-0)=0.所以x=0为第一类跳跃间断点; 不存在.所以x=1为第二类间断点; 不存在,而,所以x=0为第一类可去间断点; ,(k=1,2,…)所以x=为第二类无穷间断点.6.设,且x=0是f(x)的可去间断点.求a,b.解. x=0是f(x)的可去间断点,要求存在.所以 .所以 = 分子极限
7、为0,分母极限为不为0的常数,所以a=1. =上式极限存在,必须.(最后求得极限值)7.设,b¹0,求a,b的值.解.上式极限存在,必须a=(否则极限一定为无穷).所以 =. 所以.8.讨论函数 在x=0处的连续性.解.当时不存在,所以x=0为第二类间断点; 当,,所以 时,在x=0连续,时,x=0为第一类跳跃间断点.9.设f(x)在[a,b]上连续,且a8、xnb,试证在(a,b)内至少存在一个x,使f(x)=x.证明:假设F(x)=f(x)-x