函数极限及连续

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1、第1章函数的极限与连续极限是现代数学的最基本的概念，是学习微积分学的重要基础.在后面的几章学习中可以看到，微积分中的重要概念都是通过极限来定义的.本章将介绍极限的概念、性质及运算法则，在此基础上建立函数连续的概念，并讨论连续函数的性质．1.1初等函数1.1.1函数1．函数的定义设是一个数集，如果对属于中的每一个数，依照某个对应关系，都有确定的数值和它对应，那么就叫做定义在数集上的的函数，记作．叫做函数的自变量，数集叫做函数的定义域．函数的取值范围叫做函数的值域.由定义可知，对应关系和定义域构成函数的二要素.2．函数的定义域在实际问题中，根据所考察问题的实际意义来确定其定义域．对于不具有实

2、际意义的抽象函数，其定义域是使得函数有意义的全体自变量的集合．常见的有:(1)在分式函数中，分母不能为零；(2)在根式函数中，负数不能开偶次方；(3)在对数函数中，真数大于零；(4)在三角函数和反三角函数中，要符合它们的定义域；(5)在含有多种式子的函数中，应取各部分定义域的交集.例1求下列函数的定义域：（1）；（2）．3．反函数在研究函数的同时，有时函数和自变量的地位会相互转换，于是就出现了反函数的概念．例如，在函数中，定义域和值域都是，按照和的对应关系，任意给出一个∈，都有唯一确定的与之对应．一般地，设函数，定义域为，值域为．如果对于中的每一个值，都可由确定唯一的值与之对应，这样就确

3、定一个以为自变量的函数，该函数称为函数的反函数，记作．显然，函数的定义域为，值域为．习惯上常用表示自变量，表示函数，故常把的反函数记为．若把函数与其反函数的图形画在同一个平面直角坐标系内，则这两个图形关于直线＝对称．因此，函数是函数的反函数，其定义域为，值域为．将函数改为，自变量改为，则函数的反函数为（图1－1）．图1－1例2求的反函数．4．分段函数在自然科学及工程技术中，用公式表示函数时，经常会遇到一个函数在不同的范围内用不同的式子表示的情况.如函数是定义在区间内的一个函数.当时，；当时，.在不同的区间内用不同的式子来表示的函数叫分段函数.分段函数是用几个解析式子来表示的一个函数，而不

4、是表示几个函数.求分段函数值时，应把自变量的值代入相应取值范围的表达式中进行计算.如在上面的分段函数中，；.5．函数的几种特性（1）奇偶性如果函数的定义域关于原点对称，且对于任意的，都有，那么叫做奇函数；如果函数的定义域关于原点对称，且对于任意的，都有，那么叫做偶函数；如果函数既不是奇函数也不是偶函数，则称为非奇非偶函数.如是奇函数，是偶函数.奇函数的图象关于原点对称(如图1－2)；偶函数的图象关于轴对称(如图1－3).图1－2图1－3例3判断下列函数的奇偶性(1)；(2)；(3).（2）单调性如果函数在区间内随着的增大而增大，即对于内任意两点与，当时，有，那么称函数在区间内是单调增加的

5、，区间叫做函数的单调增加区间．如果函数在区间内随着的增大而减小，即对于内任意两点与，当时，有，那么称函数在区间内是单调减少的，区间叫做函数的单调减少区间.显然，单调增加函数的图象沿轴正向是逐渐上升的；单调减少函数的图象是沿轴正向是逐渐下降的.如图1－4为单调增加函数，图1－5为单调减少函数.图1－4图1－5在整个区间上单调增加（减少）的函数，称为这区间上的单调增（减）函数，这个区间称为这个函数的单调区间.例如，指数函数在其定义域内是单调增加的．而幂函数在内是单调增加的，在内是单调减少的，所以在内不是单调函数.例4判断函数的单调性.（3）周期性对于函数，如果存在一个非零常数，使得对于其定义

6、域内的每一个，都有成立，则称是周期函数，称为其周期.显然，如果是的周期，则（是整数）均为其周期．一般提到的周期均指最小正周期.我们常见的三角函数都是以为周期；都是以为周期.（4）有界性设函数在区间内有定义，如果存在一个正数，使得对于任意∈，恒有，那么称在内有界；如果不存在这样的数，那么称在内无界.例如，函数，存在正数，使得对于任意的，均有,所以函数在其定义域内是有界的．1.1.2基本初等函数我们学过的幂函数(为实数）、指数函数且、对数函数且、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.1．幂函数（为实数）(1)当时，函数经过两定点和，图象在第Ⅰ象限内单调增加且无界（如图1－6（1））.(2)

7、当时，函数经过定点，图象在第Ⅰ象限内单调减少且无界（如图1－6（2））.（1）（2）图1－62．指数函数且它的定义域为，值域为，图象经过定点．(1)当时，函数单调减少且无界（如图1－7（1））．(2)当时，函数单调增加且无界(如图1－7（2））．（1）（2）图1－73．对数函数且它的定义域为，值域为，图象经过定点．(1)当时，函数单调递减且无界(如图1－8(1))；(2)当时，函数单调递增且无界(如图1－8(2))．(1)(2)图1