第1章函数极限及连续

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1、1.1函数1.1.1函数及其性质1.函数的概念引例汽车以60千米/小时的速度均速行驶，那么行驶里程与时间有什么关系？设行驶路程为千米，行驶时间为小时，依题意可得.变量和的这种对应关系，即是函数概念的实质.定义1.1设和是两个变量，是一个非空实数集，如果对于数集中的每一个数按照一定的对应法则都有唯一确定的实数与之对应，则称是定义在数集上的函数，记作，其中称为函数的定义域，称为自变量，称为因变量．如果对于确定的，通过对应法则，有唯一确定的实数与之对应，则称为在处的函数值，记作.集合称为函数的值域.2.函数的表示法（1）解析法：用一个等式来表示两个变量的函数关系.如一次函数（为常数，且）.（2）列表

2、法：列出表格来表示两个变量的函数关系.如三角函数表.（3）图像法：用函数图像表示两个变量之间的函数关系.如二次函数图像.3.函数的两个要素函数的对应法则和定义域称为函数的两个要素.函数的对应法则通常由函数的解析式给出，函数的值域由定义域和对应法则确定.函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量取值的全体.在实际问题中，函数的定义域要由问题的实际意义确定.在求函数的定义域时，应注意：分式函数的分母不能为零；偶次根式的被开方式必须大于等于零；对数函数的真数必须大于零；反正弦函数与反余弦函数的定义域为等，如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部分定义域的交集.两个函数只有当定义域和对应法则都相同时

3、，才是同一个函数.例如函数与是相同的函数；而函数与因定义域不同而不是相同函数.23例1.1.1求函数的定义域.解当且仅当且时，才有意义，即，所以函数的定义域为.例1.1.2已知，求及.解例1.1.3已知，求.解令，则，从而所以4.几种常见函数简介（1）分段函数有些函数在定义域不同的范围内有不同的表达式，这样的函数叫做分段函数例1.1.4设求.解（2）隐函数通常将形如的函数称为显函数；由二元方程确定的函数称为隐函数.有些隐函数可以通过一定的运算，把它转化为显函数，例如可以化为显函数；但有些隐函数却不能化为显函数，例如.（3）参数方程确定的函数23由参数方程来表示和之间的函数关系，称为由参数方程确

4、定的函数.例如，由参数方程，可以确定函数.（4）反函数设为定义在数集上的函数，其值域为．若对于数集中的每一个数，数集中都有唯一的数，使得，则称由此确定的函数为的反函数，记为，其定义域为，值域为．注意：只有严格单调的函数才有反函数.例1.1.5求函数的反函数，并确定反函数的定义域.解由得，即.将上式中的互换，因此得到函数的反函数为，反函数的定义域为.5.函数的几种特性（1）奇偶性设函数的定义域关于原点对称，对任意，①若，则称为偶函数；②若，则称为奇函数；③不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数.由定义可知奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称.例1.1.6判断下列函数的奇偶性：

5、①；②；③.解①，所以是偶函数.23②，所以为奇函数．③，它既不等于，也不等于，所以为非奇非偶函数.（2）周期性设为一个不为零的常数，如果函数对于任意，都有，且，则称是周期函数．使上述关系式成立的最小正数，称为函数的周期．应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期．例如函数都是以为周期的周期函数，而、则是以为周期的周期函数．（3）单调性设函数在区间内有定义，对于任意，1）若，则称在区间内为单调增加函数，这时为的单调增加区间.2）若，则称在区间内为单调减少函数，这时为的单调减少区间.例如，函数在上是调减函数；在上是增函数．（4）有界性设函数的定义域为，如果存在一个正数，使得对任意，恒有

6、，则称在上有界；如果不存在这样的正数，则称在上无界．例如，函数在其定义域上是有界的；在其定义域上是无界的.23关于函数的性质，除了有界性与无界性之外，单调性、奇偶性、周期性都是函数的特殊性质，而不是每一个函数都一定具备的．1.1.2初等函数1.基本初等函数我们称下列六种函数为基本初等函数.（1）常数函数：（为常数），函数的图形是一条水平的直线，（2）幂函数：（3）指数函数：，（4）对数函数：，（5）三角函数：正弦函数，；余弦函数，；正切函数，；余切函数，；正割函数（不做详细讨论）；余割函数（不做详细讨论）.（6）反三角函数反正弦函数，反余弦函数，反正切函数，反余切函数，2.复合函数设函数的定义

7、域与函数的值域的交集非空，则称函数是由与复合而成的复合函数，23其中称为中间变量.例1.1.7　求函数与的复合函数.解：将代入到得复合函数不是任何两个函数都能复合成一个复合函数．如，就不能复合成一个复合函数.利用复合函数不仅能将若干个简单的函数复合成一个函数，还可以把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数.例1.1.8指出复合函数是由哪些函数复合而成的.解是由复合而成.3.初等函数定义1.2由基本初