第5讲-多元函数极限(续)及连续

《第5讲-多元函数极限(续)及连续》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、《数学分析II》第5讲教案第5讲二元函数的极限（续）与连续性授课题目二元函数的极限（续）与连续性教学内容1.二元函数极限的性质定理；2.累次极限及其性质；3.二元函数的连续性的定义；4.二元连续函数的性质.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握二元函数的累次极限，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法；掌握二元函数的连续性的定义，理解二元连续函数的性质.教学重点及难点教学重点：重极限与累次极限的区别与联系，二元函数的连续性；教学难点：二元连续函数的性质.教学方法及教材处理提示(1)通过介绍二元函数的极限的性质定理，使学生进一步弄

2、清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法．(2)重极限与累次极限的区别与联系是教学重点，通过多举些例题介绍判别极限存在性的较完整的方法．(3)二元函数的连续性基本上与一元函数的情况类似，教学中可通过复习一元函数的连续性引出二元函数的连续性．有关二元连续函数的运算与一元函数的情况基本上类同，只介绍相关结论其证明过程从略.(4)关于二元函数介值性定理的证明是一道极好的习题，将其作为重要知识点并安排在习题课上重点讲授.作业布置作业内容：教材:2（1，3，5），4，7（3，4）.:1（3，4）.讲授内容一、二元函数的极限性质例1　二元函数如图1

3、6－7所示，当沿任何直线趋于原点时，相应的都趋于零，但这并不表明此函数在时极限存在．因为当点沿抛物线趋于点时，将趋于1。所以不存在。例2　设证明证：因为，对任给正数M，取就有4《数学分析II》第5讲教案由此推得即这就证得结果（该函数在原点附近的图象参见图16－8）.二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法相仿，特别把看作点函数时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再一一列出．　　二、累次极限在上一段所研究的极限中，两个自变量同时以任何方式趋于。这种极限也称为重极限。在这一段里，我们要考察与依一定的先后顺序相继趋于与时的极限，这种极限称为累次极限．我们先通过

4、以下例题来认识累次极限问题.例3设.　由例1已经知道时的重极限不存在.但当时，有从而有同理可得即的两个累次极限都存在而且相等，但是的重极限不存在．定义　若对每一个，存在极限由于此极限一般与有关，因此记作　　　　　　　　　　而且进一步存在极限.则称此极限为二元函数先对后对的累次极限，并记作类似地可以定义先对后对的累次极限：注：累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系．举例子来说明这一点．　　例4　设，它关于原点的两个累次极限分别为　　　　　当沿斜率不同的直线时，容易验证所得极限也不同。因此该函数的重极限不存在.例5　设它关于原点的两个累次都不存

5、在。这是因为对任何，当4《数学分析II》第5讲教案时的第二项不存在极限。同理，对任何，当时的第一项也不存在极限。但是由于,故的重极限存在，且定理16.6　若重极限与累次极限都存在，则它们一定相等。证：设则对任给的正数，总存在正数，使得当时，有(2)另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式的，存在极限回到不等式（2），让其中，可得故得，即推论1　若累次极限和重极限都存在，则三者相等。推论2　若累次极限与存在但不相等，则重极限必不存在。三、二元函数的连续性　定义　设为定义在点集上的二元函数．，若则称点连续。　例8设，函数在原点不连续。（因为极限不存在）例9设讨论函数的连

6、续性.解：当时，由于因此连续.而故当时，在原点连续.若二元函数在某一点连续，则与一元函数一样，可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性以及相应的有理运算的各个法则．下面证明二元复合函数的连续性定理，其余留给读者自己去证明．定理16.7(复合函数的连续性)设函数和在平面上点4《数学分析II》第5讲教案的某邻域内有定义，并在点连续；函数在平面上点的某邻域内有定义，并在点连续，其中，.则复合函数在点也连续．四、有界闭域上连续函数的性质定理16.8(有界性与最大、最小值定理)若函数在有界闭域R2上连续，则在D上有界，且能取得最大值与最小值．证先证明在D上有界．倘若不

7、然，则对每个正整数，必存在点D，使得　于是得到一个有界点列，且总能使中有无穷多个不同的点．由§1定理16．3(聚点定理)的推论，存在收敛子列，设且因D是闭域，从而D．由于在D上连续，当然在点也连续，因此有这与不等式(3)相矛盾．所以是D上的有界函数．定理16.9（一致连续性定理）若函数在有界闭域上连续，则在D上一致连续。即对任何，总存在只依赖于的正数，使得对一切点，只要，就有.定理16.10（介值性定理）设函数在区域连续，若为D中任意两点，且，则对任何满足不等式的实数，必存在点，使得。证：作辅助函数易见仍在上连续，且。这里不妨假设是的内点.下面证明必存在，使。由