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1、第一章多元函数微分学第二节多元函数的极限与连续性正确理解多元函数的重极限和累次极限的概念。了解多元函数的重极限和累次极限的区别和联系。掌握极限的运算法则。正确理解多元函数连续性的概念。掌握多元连续函数的运算法则。掌握有界闭区域上连续函数的性质。本节教学要求:重极限累次极限连续性极限的运算法则本节关键概念和理论有界闭区域上连续函数的性质第二节多元函数的极限与连续性一.多元函数的极限及极限的运算二.多元函数的连续性三.多元函数的间断点一、多元函数的极限及其运算1.二元函数极限的定义2.多元函数极限的性质、定理3.累次极限x0xy()..()a.xO..x0xy()..()a.xO..x
2、0xy()..()a.xO..一元函数极限的概念一元函数极限的概念进行整理时的极限(二重极限),记为2.二元函数极限的定义几点注意多元函数的极限如果存在,则必唯一.应用这个性质,可将一元函数的极限运算法则和性质推广到多元函数中来.3.多元函数极限的性质、定理例(夹逼定理)由于而故由夹逼定理,得夹逼定理例解例(无穷小性质)又(有界量)(无穷小量)无穷小量的性质由于例解例(有理化)有理化(平方差公式)例解例(等价无穷小)等价无穷小替代例解利用重要极限此题另一解法例(重要极限)例解利用重要极限例(极限不存在)例解由于极限存在应与的方式和方向有关,故原极限不存在.该例还说明一个问题多元函数的极限不存
3、在.“无穷多个方向”不等于“任意方向”.可利用方向性来判别累次极限是指的下列极限一般说来,这两个极限不一定相等.一般情况下,运算顺序不能随便交换.4.累次极限若两个累次极限存在,但不相等:定理例由于两个累次极限不相等,故例解两个累次极限存在且相等,也不一定能推出二重极限存在.时的两类极限.当例二重极限存在不一定能推出累次极限存在.但例二.多元函数的连续性1.二元函数连续性的定义请点击2.二元连续函数的运算3.多元初等函数4.有界闭区域上连续函数的性质1.二元函数连续性的定义若函数在区域上的每一点都连续,则称函数在区域上连续,记为数中讨论区间端点处连续性的情形.如果点为区域的边界点,则只
4、需讨论点的邻域中属于的那一部分,类似于一元函连续的多元函数的和、差、积、商(分母不能为零)仍是连续函数;连续的多元函数的复合函数仍连续.在一定的条件下,2.二元连续函数的运算1.《分析中的反例》[美]B.R.盖尔鲍姆,J.M.H.奥姆斯特德,上海科学出版社,1980.参考书:2.《高等数学是非300例分析》计幕然等,北京航空学院出版社,1985.由基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成的多元函数,称为多元初等函数.3.多元初等函数多元初等函数在其有定义的区域内是连续的.一元连续函数在闭区间上的性质,推广到多元函数中应是连续函数在有界闭区域上的性质.在空间中,闭区域不一定有界.在一维
5、空间中,闭区间一定是有界的.4.有界闭区域上连续函数的性质性质1(最大、最小值定理)推论设为有界闭区域.任意一个值,至少存在一点使得且在上取两个若函数值与则对于与间的性质2(介值定理)从定理可看出:则至少存在一点使得若取由连续性设为有界闭区域.存在一点使得两个函数值与,且,则至少又在上取若性质3(根存在定理)如果函数在点处不连续,则称函数在点处间断点称为函数的间断点.三.多元函数的间断点寻找间断点的方法(1)函数无定义的点;(3)极限存在但不等于函数(2)极限不存在的点;在该点的函数值的点.例由分母不能为零,的一切点均为函数的间断点.Oxy例解直线上多元函数间断点多元函数的间断点可以构成直线
6、、曲线、曲面等,也可以是某些点的集合.情形比较复杂例由分母不能为零,例解故点为函数的间断点.例由三角函数知识可知,所求间断点为Oxy同心圆例解例(极坐标)根据函数连续的定义,只需证明例解运用夹逼定理:故函数在点(0,0)处连续.运用极坐标