函数、极限与连续(III)

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1、第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数、极限与连续第一章二、函数一、集合第一节机动目录上页下页返回结束映射与函数元素a属于集合M,记作元素a不属于集合M,记作一、集合1.定义及表示法定义1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作.(或).注:M为数集表示M中排除0的集;表示M中排除0与负数的集.机动目录上页下页返回结束表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：x所具有的特征例:整数集合或有理数集p与q互

2、质实数集合x为有理数或无理数开区间闭区间机动目录上页下页返回结束无限区间点的邻域其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.半开区间去心邻域左邻域:右邻域:机动目录上页下页返回结束是B的子集,或称B包含A,2.集合之间的关系及运算定义2.则称A若且则称A与B相等,例如,显然有下列关系:,,若设有集合记作记作必有机动目录上页下页返回结束定义3.给定两个集合A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集机动目录上页下页返回结束或定义域三、函数1.函数的概念定义4.设数集则称映射为定义在D上的函数,记为

3、f(D)称为值域函数图形:机动目录上页下页返回结束自变量因变量(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值定义域：对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域机动目录上页下页返回结束例4.已知函数求及解:函数无定义并写出定义域及值域.定义域值域机动目录上页下页返回结束2.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称使称说明:还可定义有上界、有下界、无界(2)单调性为有界函数.在I上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)无界.称为有上界称为有下界当时

4、,称为I上的称为I上的单调增函数;单调减函数.机动目录上页下页返回结束(3)奇偶性且有若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有机动目录上页下页返回结束(4)周期性且则称为周期函数,若称l为周期(一般指最小正周期).周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x为有理数x为无理数机动目录上页下页返回结束3.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f的反函数.机动目录上页下页返回结束其反函数(减)(减

5、).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.机动目录上页下页返回结束指数函数(2)复合映射机动目录上页下页返回结束手电筒D引例.复合映射定义.则当由上述映射链可定义由D到Y的复设有映射链记作合映射,时,或机动目录上页下页返回结束注意:构成复合映射的条件不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.(2)复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①机动目录上页下页返回结束—复合映射的特例②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条

6、件不可少.例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合机动目录上页下页返回结束两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:4.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.机动目录上页下页返回结束非初等函数举例:符号函数当x>0当x=0当x<0取整函数当机动目录上页下页返回结束例5.求的反

7、函数及其定义域.解:当时,则当时,则当时,则反函数定义域为机动目录上页下页返回结束内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构作业P134、5、6(1),(3)、8、9(1),(3)、10(1),(3)2.函数的定义及函数的二要素第二节目录上页下页返回结束且备用题证明证:令则由消去得时其中a,b,c为常数,且为奇函数.为奇函数.1.设机动目录上页下页返回结束2.设函数的图形与均对称,求证是周期函数.证:由的对称性知于是故是周期函数,周期为机动目录上页下页返回结束