函数、极限、连续(III)

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1、分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数、极限与连续函数的定义反函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数第一章函数主要内容一、函数1.函数的概念定义:定义域值域图形:(一般为曲线)设函数为特殊的映射:其中求函数的定义域P9:2题2.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性3.反函数设函数为单射,反函数为其逆映射4.复合函数给定函数链则复合函数为5.初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复复合而成的一个表达式的函数.2.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性

2、使称使称说明:还可定义有上界、有下界、无界(2)单调性为有界函数.在I上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)无界.称为有上界称为有下界当时,称为I上的称为I上的单调增函数;单调减函数.如:y=1/x在(0,1)和(3)奇偶性且有若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有定义域关于原点对称图像关于y轴对称图像关于原点对称(4)周期性且则称为周期函数,若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数4.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆

3、映射习惯上,的反函数记成称此映射为f的反函数.其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数(2)复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①—复合映射的特例②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件不可少.例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合5.初等函数(1)基本初等函数(六大类)幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由基本初等函数否则称非初等函数.例如,构成,并可用一个式子表示的函数,经

4、过有限次四则运算和复合步骤所称为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.常数函数、初等函数2.幂函数3.指数函数5.三角函数1.常值函数4.对数函数6.反三角函数一、基本初等函数常值函数1.常值函数constantfunction其中C是常数定义域值域幂函数2.幂函数(powerfunctions)定义域值域都过点(1,1)3.指数(exponentialfunction)指数函数定义域值域都过点(0,1)4.对数函数(logarithmicfunction)定义域值域都过点(1,0)自然对数a=e=2.71828…时正弦函数5.三角函数定义域值域周期

5、奇偶性奇函数单调性余弦函数定义域值域周期奇偶性偶函数单调性正切函数定义域值域周期奇偶性奇函数单调性余切函数定义域值域周期奇偶性奇函数单调性正割函数定义域值域周期奇偶性偶函数单调性余割函数定义域周期奇偶性奇函数单调性值域6.反三角函数定义域值域奇偶性奇函数单调性定义域值域单调性定义域值域奇偶性奇函数单调性定义域值域单调性极限的定义数列函数数列极限与函数极限之间关系四则运算无穷小无穷大无穷小比较极限的性质唯一性有界性保号性极限存在准则两个重要极限极限注意：极限定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数,使得对于时的一切,不等式都成立,那么就称常数是数列

6、的极限,或者称数列收敛于,记为或如果数列没有极限,就说数列是发散的.数列总有总有有界:无界:下界:上界:收敛数列的性质性质1（极限的唯一性）收敛数列的极限必唯一.收敛数列必为有界数列.性质2（有界性）反之不一定成立推论无界数列则必发散性质3（保序性）推论1（保号性）推论2性质4（收敛数列与其子数列间的关系）发散数列判别法:1.无界数列必定发散.2.一子列发散,则数列发散.3.两子列收敛到不同的极限,则数列发散.性质5(夹逼准则)单调增加有上界数列有极限；单调减少有下界数列有极限。性质6(单调有界收敛准则)函数极限函数极限的统一定义(见下表)过程时刻从此时刻以后过

7、程时刻从此时刻以后左极限右极限(right-handlimit)(left-handlimit)定理函数极限的性质定理2（函数极限的局部有界性）定理1（函数极限的惟一性）(注:对于六种极限形式都成立只要做相应的修改即可,可类似证明)若存在，那么该极限是唯一的，若那么存在常数M>0,和使得当有推论3.不等式性质定理(保序性)注意:若将小于等于改成小于,极限式子也不可以改成小于.定理(局部保号性)推论注意:若将小于等于改成小于,极限式子也不可以改成小于.4夹逼准则一些基本初等函数的极限所有以为极限的函数(包括数列)都称为在某个趋势下的无穷大无穷大无穷小定理1在自变量

8、的同一变化过程中,有限个