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1、第8章多元函数微分法及其应用2第8章多元函数微分法及其应用上册已经讨论了一元函数微积分.但在自然科学、工程技术和经济生活的众多领域中,往往涉及到多个因素之间关系的问题.这在数学上就表现为一个变量依赖于多个变量的情形,因而导出了多元函数的概念及其研究与应用.本章在一元函数微分学的基础上,数的微分方法及其应用.讨论多元函以二元函数为主,但所得到的概念、性质与结论都可以很自然地推广到二元以上的多元函数.同时,还须特别注意一些与一元函数微分学显著不同的性质和特点.38.1多元函数的极限与连续平面点集多元函数的概念多元函数的极限多元函数的连续性小结思考题作业f
2、unctionofmanyvariables4一、平面点集实数组(x,y)的全体,即建立了坐标系的平面称为坐标面.xOy坐标面坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作二元有序5邻域(Neighborhood)设P0(x0,y0)是xOy平面上的一个点,几何表示Oxy.P0令有时简记为(“开”意味着①将邻域去掉中心,称之为去心邻域.它是以P0为中心、为半径的开圆也称为不包括边界),注几何表示一元函数中邻域的概念:②也可将以P0为中心的某个矩形内(不算周界)的全体点称之为点P0邻域.6(1)内点显然,E的内点属于E.(2)外点如果存在点P的
3、某个邻域则称P为E的外点.(3)边界点如点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,称P为E的边界点.任意一点与任意一点集之间必有以下四种关系中的一种:设E为一平面点集,若存在称P为E的内点.E的边界点的全体称为E的边界,记作使U(P)∩E=,下面利用邻域来描述点和点集之间的关系.7(4)聚点如果对于任意给定的P的去心邻域内总有E中的点则称P是E的聚点.(P本身可属于E,也可不属于E),聚点从直观上讲:这点附近有无穷多个E的点.例如,若则P为E的边界点,E的边界则P为E的内点;也是E的聚点;若或也是E的聚点;或设点集8开集若点集E的任意一点都
4、是E的内点,例称E为E1为开集.下面再定义一些重要闭集若点集E的边界称E为闭集.例E2为闭集.例E3既非开集,也非闭集.根据点集所属点的特征,的平面点集的概念.开集.9区域(或开区域)连通的开集称为连通集.如果点集E内任何两点,都可用折线连且该折线上的点都属于E,称E是区域或开区域.连通集结起来,闭区域开区域连同其边界一起所构成的点集,称为闭区域.都是闭区域.如10是区域吗?不是区域.因为不连通.连结两点的任何折线都与相交点不属于E.y轴相交,练习连通的开集称为区域或开区域.是区域.11有界集否则称为总可以被包围在一个以原点为中心、大的圆内的区域,称
5、此区域为半径适当(可伸展到无限远处的区域).有界集.集例无界是有界闭区域;是无界开区域;是无界闭区域.12OxyOxyOxyOxy有界开区域有界半开半闭区域有界闭区域无界闭区域13二、多元函数的概念1.二元函数的定义例有如下的关系为正的常数).在西方经济学中称此函数关系为Cobb-Douglas在生产中,产量Y与投入资金K和劳动力L之间,生产函数.当投入资金K和劳动力L的值分别给定时,产量Y就有一个确定的值与它们对应.上述关系式,按照14例它们之间具有如下的关系设R是电阻R1,R2并联后的总电阻.由电学当电阻R1,R2取定后,知识知道,R的值就唯一确
6、定了.15点集D称为该函数的定义8.1称映射为定义在D上的二元(点)函数,设D是R2的一个非空子集,记为称x,y为数集称z为自变量,因变量.定义域,的值域,称为该函数记为或16二元及二元以上的函数统称为多元函数定义域:定义域为符合实际意义的自变量取值的全体.记为f(x0,y0)函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的函数值或f(P0).类似,可定义n元函数.多元函数.实际问题中的函数:的自变量取值的全体.纯数学问题的函数:定义域为使运算有意义多元函数的自然定义域.17例求下面函数的定义域解Oxy无界闭区域即定义域为18解Oxy定义域是有界半开半
7、闭区域练习192.二元函数的几何意义研究单值函数二元函数的图形通常是一张曲面.20如,由空间解析几何知,函数的图形是以原点为中心,R为半径的上它在xOy平面上的投影是圆域:D就是函数的定义域.半球面.21的图形是双曲抛物面(马鞍面).又如,它在xOy平面上的投影是全平面.22从一元函数到二元函数,在内容和方法上都会出现一些实质性的差别,而多元函数之间差异不大.因此研究多元函数时,将以二元函数为主.23三、多元函数的极限讨论二元函数z=f(x,y),怎样描述呢?Oxy(1)P(x,y)趋向于P0(x0,y0)的回忆:一元函数的极限路径又是多种多样的.注
8、方向有任意Oxy多个,恒有24(2)变点P(x,y)这样,可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义.
