函数、极限与连续

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1、第一章函数极限连续知识点拔1.1函数一、函数的概念设是一个非空数集，若存在一个对应法则，使得对内的每一个值都有唯一的值与之对应，则称这个对应法则是定义在数集上的一个函数，记作：，其中叫自变量，叫因变量或函数，数集称为函数的定义域，而数集叫函数的值域.如果，称函数在处有定义，函数在处的函数值记为或.注释:①函数定义的两个要素：定义域和对应法则；②两个函数相等条件：定义域和对应法则都相同的两个函数是相同函数，如：与不同，因定义域不同；与不同，因对应法则不同；与相同，也就是当两上函数的定义域和对应法则都相同时，即使其自变量所用的字母不同，但两个函数相同.③若定义域内的每一个只对应一个函数值，则称

2、该函数为单值函数，若同一个值可对应于多于一个的函数值，这种函数称为多值函数.二、函数的基本性质1、函数的单调性：设函数在区间上有定义，如果对，恒有（或），则称在区间上严格单调增加（或严格单调减少）的.如果对于，有(或)称在区间上是单调增加（或单调减少）的.注释：（1）函数的有界性与单调性是与某个区间密切相关的，15区间不同函数的有界性与单调性也不同.（2）增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减，增的倒数为减，减的倒数为增.（3）增函数与增函数或减函数与减函数的复合为单调增加函数.（4）增函数与减函数或减函数与增函数的复合为单调减少函数.2、函数的奇偶性：设是对称于原点的区间，若对，

3、，则称是奇函数；若有，称是偶函数.注释：①奇（偶）函数的定义域必须是关于原点对称的区间.②奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称.③奇偶函数的运算性质1°奇函数的代数和仍为奇函数；偶函数的代数和仍为偶函数；奇函数与偶函数的代数和为非奇非偶函数；2°偶数个奇（或偶）函数的积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数；3°一奇一偶函数的积是奇函数；4°奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数；5°奇函数的原函数是偶函数；偶函数的原函数是奇函数的充要条件是，即在所有原函数中只有一个函数是奇函数.④任何一个定义域是关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和的形式，即.3、函数的有界

4、性：设在区间上有定义，如果存在,使得对一切都有，则称在上有界，否则称为无界，即对，若存在，使得，称在上是无界的.注释：函数的有界性与的取值区间有关.若函数在区间上有界，但在内是无界的，因为在这个区间上函数满足定义的不存在，即函数的有界性与的取值区间有关.4、函数的周期性：设的定义域为，若存在常数，伎得对，必有15，并且有成立，则称是以为周期的周期函数，称为函数的周期，所有周期中的最小正周期叫函数的周期.注释：①周期函数的定义域必须是无限点集，但不能是有限区间.如：的定义域是（）且②若的周期为，则的周期为()；③周期函数的和、差、积仍为周期函数，且周期为各个函数周期的最小公倍数，如：周期是的

5、最小公倍数，但也有例外，如：,的周期为2，但的周期为；④周期函数的导数仍为周期函数，且周期不变；⑤设是周期为的函数，则它的原函数为周期函数的充要条件是，或者说，周期函数的原函数不一定是周期函数，如：是以2为周期的函数，但其任一个原函数不是周期函数.⑥不是每一个周期函数都有最小正周期的,如:狄利克雷函数任何有理数都是它的周期,即若为有理数,也是有理数,故有;若为无理数,也是无理数,故,可见为的周期,但它没有最小的正周期.又如：，为常数，它是周期为任意实数且没有最小正周期的周期函数.三、反函数设函数，其定义域为，值域为，如果对于中的某一个值（），都可以从关系式确定唯一的（）与之对应，这样就确定

6、了一个以为自变量的新函数，记为：，称函数为函数的反函数，它的定义域为，值域为.注释：①习惯上自变量用表示，函数用表示，因此函数的反函数15通常表示为.②反函数的定义域就是其原来函数的值域；反函数的值域就是原来函数的定义域，且有.③原来函数与其反函数的图像关于对称（前提是在同一坐标系中），的图像与其反函数的图像重合.④只有一一对应的函数才有反函数.⑤若在区间内单调在区间内一定存在单值反函数，反之不一定成立，即若在区间内存在单值反函数但在区间内不一定单调，如：在区间内存在单值反函数，但它在上不单调.四、复合函数若函数在处有定义，而在处有定义，则称为由和复合而成的复合函数，称为中间变量.注释：①

7、只有当函数的值域与的定义域的交集不是空集时才构成复合数.②函数的复合：先利用外层函数关系，再利用内层函数关系而构成，如：设，，则.③复合函数的分解：先找到外层函数关系，设其内部整体为中间变量，再依次分解，如：，可设,，则原来函数是由,，复合而成.五、初等函数1、基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五类函数统称为基本初等函数.2、初等函数：由常数和五类基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合