函数的极限与连续

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1、第一章函数的极限与连续极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限.因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件.本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念.§1-1函数一、函数的概念定义1.1设有一非空实数集D，如果存在一个对应法则，使得对于每一个，都有一个惟一的实数与之对应，则称对应法则是定义在D上的一个函数.记作y=f(x)，其中为自变量，y为因变量，习惯上称y是的函数，D称为定义域.当自变量x取定义域D内的某一定值时，按对应法则f所得的对

2、应值y0，称为函数y=f(x)在x=x0时的函数值，记作f(x0)，即y0=f(x0).当自变量x取遍D中的数，所有对应的函数值y构成的集合称为函数的值域，记作M，即例1已知，求，，解例2求下列函数的定义域.（1）(2)解（1），所以定义域为（2），所以定义域为由函数定义可知，定义域与对应法则一旦确定，则函数随之惟一确定.因此，我们把函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素.如果两个函数的定义域、对应法则均相同，那么可以认为这两个函数是同一函数.反之，如果两要素中有一个不同，则这两个函数就不是同一函数.例如：与,因为,即这两个函

3、数的对应法则相同，而且定义域均为R，所以它们是相同的函数.又如与，虽然，但由于这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数.通常函数可以用三种不同的形式来表示：表格法、图形法和解析法（或称公式法）.三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用.二、函数的性质1、单调性设函数在（）内有定义，若对（）内的任意两点，当时，有，则称在（）内单调增加；若当时，有，则称在（）内单调减少，区间（）称为单调区间.2、奇偶性22设函数在D上有定义，若对于任意的，都有，则称为偶函数；若有，则称为奇函数.在直角坐标系中，奇函数

4、与偶函数的定义域必定关于原点对称，且偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.1、有界性若存在一个正数M，使得对任意的，恒有，则称函数y=f(x)在（）内有界.如y=sinx与y=cosx都在（）内有界.2、周期性设函数在D上有定义，若存在一个正实数T，对于任意的，恒有，则称是以T为周期的周期函数.通常所说的周期函数的周期，是指它们的最小正周期.如的周期是2，的周期是，的周期是.函数,（为常数）是周期函数,但不存在最小正周期,此类函数称为平凡周期函数.三、反函数定义1.2　设函数，其定义域为D，值域为M.如果对于每一个

5、，有惟一的一个与之对应，并使成立，则得到一个以为自变量，为因变量的函数，称此函数为y=f(x)的反函数，记作显然，的定义域为M，值域为D.由于习惯上自变量用x表示，因变量用表示，所以的反函数可表示为例如的反函数是，其定义域就是的值域，值域是的定义域，如图1-1（a）所示.（a）（b）在同一直角坐标系中，函数y=f(x)和其反函数的图象关于直线对称.如图1-1（b）所示.图1—1四、初等函数1、基本初等函数下列六种函数统称为基本初等函数.（1）常数函数（为常数），其图形为一条平行或重合于轴的直线.（2）幂函数（为实数）,其在第一象

6、限内的图形如图1-2所示.22图1-2（3）指数函数（），定义域为R，值域为，图形如图1-3所示.（a）（b）图1-3（4）对数函数，定义域，值域为R，图形如图1-3（b）所示.（a）（b）（5）三角函数，，，，，.其中正弦函数和余弦函数的定义域都为R，值域都为，正切函数的定义域为，值域为R，这三个函数的图形如图1-4所示.图1-4（6）反三角函数，，，，其中反正弦函数与反余弦函数的定义域都为，值域分别为和反正切函数y=arcanx的定义域R，值域为，这三个函数的图形如图1-5所示.22图1-52、复合函数定义1.3设函数的定义

7、域为，函数的值域为,若，则将称为与复合而成的复合函数，称为中间变量，为自变量.如函数，因为的值域包含在的定义域（0，+）内，所以是与复合而成的复合函数.注意：（1）并不是任何两个函数都可以复合的，如与就不能复合.因为的值域为，而的定义域为，所以对于任意的所对应的，都使无意义；（2）复合函数还可推广到由三个及以上函数的有限次复合.例4指出下列函数的复合过程（1）；（2）.解（1）是由与复合而成的；（2）是有,复合而成的.例5已知f（x）的定义域为，求f（lnx）的定义域.解由得所以的定义域为.3、初等函数定义1.4由基本初等函数经

8、过有限次四则运算和有限次的复合，且可用一个解析式表示的函数，称为初等函数.1oy图1-6有些函数，在其定义域内，当自变量在不同范围内取值时，要用不同的解析式表示，这类函数称为分段函数，分段函数中有些是初等函数，有些是非初等函数.例6已知，求，1，，，并作出函数图