函数的极限与连续

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时间:2018-07-27

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1、第一章函数的极限与连续极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一,极限的思想与理论,是整个高等数学的基础,连续、微分、积分等重要概念都归结于极限.因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件.本章将在初等数学的基础上,介绍极限与连续的概念.§1-1函数一、函数的概念定义1.1设有一非空实数集D,如果存在一个对应法则,使得对于每一个,都有一个惟一的实数与之对应,则称对应法则是定义在D上的一个函数.记作y=f(x),其中为自变量,y为因变量,习惯上称y是的函数,D称为定义域.当自变量x取定义域D内的某一定值时,按对应法则f所得的对

2、应值y0,称为函数y=f(x)在x=x0时的函数值,记作f(x0),即y0=f(x0).当自变量x取遍D中的数,所有对应的函数值y构成的集合称为函数的值域,记作M,即例1已知,求,,解例2求下列函数的定义域.(1)(2)解(1),所以定义域为(2),所以定义域为由函数定义可知,定义域与对应法则一旦确定,则函数随之惟一确定.因此,我们把函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素.如果两个函数的定义域、对应法则均相同,那么可以认为这两个函数是同一函数.反之,如果两要素中有一个不同,则这两个函数就不是同一函数.例如:与,因为,即这两个函

3、数的对应法则相同,而且定义域均为R,所以它们是相同的函数.又如与,虽然,但由于这两个函数的定义域不同,所以这两个函数不是同一函数.通常函数可以用三种不同的形式来表示:表格法、图形法和解析法(或称公式法).三种形式各有其优点和不足,实际问题中往往把三种形式结合起来使用.二、函数的性质1、单调性设函数在()内有定义,若对()内的任意两点,当时,有,则称在()内单调增加;若当时,有,则称在()内单调减少,区间()称为单调区间.2、奇偶性22设函数在D上有定义,若对于任意的,都有,则称为偶函数;若有,则称为奇函数.在直角坐标系中,奇函数

4、与偶函数的定义域必定关于原点对称,且偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称.1、有界性若存在一个正数M,使得对任意的,恒有,则称函数y=f(x)在()内有界.如y=sinx与y=cosx都在()内有界.2、周期性设函数在D上有定义,若存在一个正实数T,对于任意的,恒有,则称是以T为周期的周期函数.通常所说的周期函数的周期,是指它们的最小正周期.如的周期是2,的周期是,的周期是.函数,(为常数)是周期函数,但不存在最小正周期,此类函数称为平凡周期函数.三、反函数定义1.2 设函数,其定义域为D,值域为M.如果对于每一个

5、,有惟一的一个与之对应,并使成立,则得到一个以为自变量,为因变量的函数,称此函数为y=f(x)的反函数,记作显然,的定义域为M,值域为D.由于习惯上自变量用x表示,因变量用表示,所以的反函数可表示为例如的反函数是,其定义域就是的值域,值域是的定义域,如图1-1(a)所示.(a)(b)在同一直角坐标系中,函数y=f(x)和其反函数的图象关于直线对称.如图1-1(b)所示.图1—1四、初等函数1、基本初等函数下列六种函数统称为基本初等函数.(1)常数函数(为常数),其图形为一条平行或重合于轴的直线.(2)幂函数(为实数),其在第一象

6、限内的图形如图1-2所示.22图1-2(3)指数函数(),定义域为R,值域为,图形如图1-3所示.(a)(b)图1-3(4)对数函数,定义域,值域为R,图形如图1-3(b)所示.(a)(b)(5)三角函数,,,,,.其中正弦函数和余弦函数的定义域都为R,值域都为,正切函数的定义域为,值域为R,这三个函数的图形如图1-4所示.图1-4(6)反三角函数,,,,其中反正弦函数与反余弦函数的定义域都为,值域分别为和反正切函数y=arcanx的定义域R,值域为,这三个函数的图形如图1-5所示.22图1-52、复合函数定义1.3设函数的定义

7、域为,函数的值域为,若,则将称为与复合而成的复合函数,称为中间变量,为自变量.如函数,因为的值域包含在的定义域(0,+)内,所以是与复合而成的复合函数.注意:(1)并不是任何两个函数都可以复合的,如与就不能复合.因为的值域为,而的定义域为,所以对于任意的所对应的,都使无意义;(2)复合函数还可推广到由三个及以上函数的有限次复合.例4指出下列函数的复合过程(1);(2).解(1)是由与复合而成的;(2)是有,复合而成的.例5已知f(x)的定义域为,求f(lnx)的定义域.解由得所以的定义域为.3、初等函数定义1.4由基本初等函数经

8、过有限次四则运算和有限次的复合,且可用一个解析式表示的函数,称为初等函数.1oy图1-6有些函数,在其定义域内,当自变量在不同范围内取值时,要用不同的解析式表示,这类函数称为分段函数,分段函数中有些是初等函数,有些是非初等函数.例6已知,求,1,,,并作出函数图

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