函数的极限与连续(1)

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1、第二章函数的极限与连续第一节极限的概念思考题1.在的定义中，为何只要求在的空心邻域内有定义？答：因为表示无限接近而不等于，故与在点有无定义无关.2.是否存在，为什么？答：存在且为0.因为，且，由无穷小的性质知.习题1.设画出的图形，求及并问是否存在.1解：的图像如下：==1,==0,.不存在.2.函数在什么条件下是无穷大量，什么条件下是无穷小量？为什么？答：当时是无穷大量,当时是无穷小量.,.3.举例说明的几何意义.解：例如：对,表示当沿轴的正向远离原点时,曲线无限靠近直线=0;表示当沿轴的负方向远

2、离原点时,曲线无限靠近直线;表示当沿轴远离原点时,曲线无限靠近直线.4.举例说明，，,的几何意义.解：例如：对,表示当沿轴无限接近0时，曲线向上无限远离原点;对,表示当沿轴无限接近0时，曲线向下无限远离原点，对,表示当沿轴负向无限接近0时，曲线向上无限远离原点;表示当沿轴正方向无限接近0时，曲线向下无限远离原点.第二、三、四节极限的运算思考题1.下列运算错在何处?（1）.答：(不存在).（2）.答：().2.两个无穷大的和仍为无穷大吗？试举例说明.答：不一定.如：是时的无穷大量,也是时的无穷大量,但

3、其和为1，不是时的无穷大量.习题1.求下列极限：（1）,（2）,解：原式=解:原式===2.=.（3）,（4）,解：原式=解：时,=,=.原式===.（5）,（6）,解：令=,解：原式=则当时,=0+100原式==.=100.(7).解：当时,原式===.2.试证时，是比高阶的无穷小.证明：当时~，~,===0,时,是比高阶的无穷小.3.试证时，与是等价无穷小.证明：令=,则,于是有：====,故时,与是等价无穷小.第五节函数的连续性思考题1.如果在处连续，问

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5、在处是否连续？答：若在处连续，则

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8、在处连续.2.区间上的连续函数一定存在最大值与最小值吗？举例说明？答：区间上的连续函数不一定存在最大值与最小值.如：在上连续，但不存在最小值；在上连续，但不存在最大值.习题1.求下列极限:（1）,（2）,解：解：==0.==.（3）,（4）,解：解：===17.=.（5）,（6）.解：解：===.=.2.求函数的间断点，并判断其类型：解：由初等函数在其定义区间上连续知的间断点为.而在处无定义，故为其可去间断点.又为的无穷间断点.综上得为的可去间断点,为的无穷间断点.