教案1—函数、极限与连续

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1、第一章函数、极限、连续§1.1函数㈠函数一、函数的概念1、函数的定义定义1.1：设是两个变量，D是一个给定的非空数集。若对于每一个数，按照某一确定的对应法则，总有唯一确定的数值与之对应，则称变量是的函数，记作：，其中：——自变量，——因变量，——对应法则，D——该函数的定义域。几点说明：①定义域D：为自变量的取值范围，也就是使函数有意义的一个数集。记作：当自变量取定时，与对应的数值称为函数在点处的函数值，记作：或②对应法则：是反映与的对应规则的，即是的函数关系，例如：对应法则是：“因变量是自变量的平方”。③值域：当取遍中的每一个值时，对应的函数值组成的集合称为函数的值域，记作：，。2、函数的两

2、要素()由函数的定义可知，定义域和对应法则是函数定义的两个要素，如果两个函数具有相同的定义域和对应法则，那么它们就是同一个函数。例1求下列函数的定义域。（1）；（2）。解（1）要使有意义，则分母，解得：且，所以函数的定义域为。（2）要使有意义，则有，解得：，所以函数的定义域为。（定义域有三种表示方式，这里要讲解一下。）例2已知函数，求。解；；；例3比较下面几组函数是否相同？（1）；（2）；（3）。解（1）的而∴仅当时，才相同故，，∴不是相同的函数。（2）的，的，而∴仅当时，才有相同的对应规则，故，，∴不是相同的函数。（3）的是，的是∴仅当时，才有相同的对应规则，故，，∴不是相同的函数。例4判断

3、下列函数是否为相同函数（1）（2）解：（1）定义域：的的显然两个函数的定义域是不同的，∴与不是相同的函数。（2）定义域：的的，显然定义域同对应法则：的值域的值域即：在内，与的对应规则是不一样的，故与不是相同的函数。1、函数的表示法函数的表示法有三种：解析法（公式法）、列表法、图象法表示。1)解析法——函数的对应法则用数学表达式表示。例如：函数，等等就是用解析法表示的函数，优点：简单明确，便于数学研究、理论分析和计算等。当在其定义域内取任意值时，可由解析式计算出相应的值。2)列表法——用表格表示两个变量之间的函数关系。例如：某商品在月份的销售量调查表如下：月份123456销售量605843502

4、539上表给出了月份与销售量之间的函数关系。优点：很容易找到对应于自变量的某一函数值。缺点：局限性，不可能列出全部函数值。1)图象法——函数的对应法则用建立在平面直角坐标系上的几何图形来表示。图1-1例如：气象台每天用自动记录仪把一天中的气温变化情况自动描绘在记录纸（如图1-1所示）。这是用图形表示的函数，气温与时间的函数关系它的定域。当时间在其定义域内取任意值时，在曲线上都可找到一个与之对应的气温值。优点：方便找出对应某一时间的温度值，并能观察出函数的变化趋势。1、分段函数有些函数关系，其函数定义不是用一个表达式完成的，而是把整个定义域分成若干个区间段，与一个区间段内的对应的函数值用一个表达

5、式给出。分段函数——对于不能用一个统一的数学表达式表示，有时要用两个以上的数学式来表示同一个函数，即在定义域的不同部分，用不同的数学式来表达的函数，称为分段函数。分段函数的定义域：是各段函数自变量取值范围之并。注：分段函数是用几个式子表达的同一个函数，而不是多个函数。例5：已知分段函数，（1）求、和；（2）求函数的定义域；（3）画出函数图形。解（1）当时，条件成立，按表达式计算，从而。当时，仍有条件成立，仍按这一表达式计算，有。当时，条件成立，按表达式计算，从而。（2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围之总和，依题设定义域应为：图1-2，即。（3）函数图形由函数的段与直线的段组成，分别将两个

6、图形对接在同一图中，就得到了给定函数的图形。（如图1-2所示）一、函数的几何特性1、函数的奇偶性定义1.2设函数在区间内有定义，若对于任意的，恒有①，则称为偶函数；（图象关于轴对称）②，则称为奇函数。（图象关于原点对称）偶函数的图象关于轴对称奇函数的图形关于原点对称例如：函数在区间内是偶函数；函数在区间内是奇函数。例6：判断下列函数的奇偶性（1）；（2）；（3）。解：（1）的，对任意，有：∴为偶函数。（2）的，对任意，有：∵∴为非奇非偶函数。（3）的：，解得：，对任意，有：∴为奇函数。1、函数的单调性定义1.3设函数在区间内有定义，对于区间内的任意两点，①当时，有，则称函数在区间内是单调增加的

7、；②当时，有，则称函数在区间内是单调减少的。例7：判断下列函数的单调性（1）；（2）；（3）。解：（1）的，设且，有：，即∴在内是单调增加的。（2）的，设且，有：，即∴在内是单调减少的。（3）的，设且，有：①在内，设有：，即∴在内是单调减少的。②在内，设有：，即∴在内是单调增加的。注意：函数在整个定义域区间内无单调性可言。1、函数的周期性定义1.4设函数在区间内有定义，如果存在一个不为零的实数，对