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1、高等院校非数学类本科数学课程——多元微积分学大学数学（三）第二讲多元函数的极限、连续性第一章多元函数微分学第二节多元函数的极限与连续性正确理解多元函数的重极限和累次极限的概念。了解多元函数的重极限和累次极限的区别和联系。掌握极限的运算法则。正确理解多元函数连续性的概念。掌握多元连续函数的运算法则。掌握有界闭区域上连续函数的性质。本节教学要求：重极限累次极限连续性极限的运算法则本节关键概念和理论有界闭区域上连续函数的性质第二节多元函数的极限与连续性一.多元函数的极限及极限的运算请点击二.多元函数的连续性三.多元函数的间断点1.回忆与推广请点击一、多元函数的极限及其运算2.二元函
2、数极限的定义3.多元函数极限的性质、定理4.累次极限回忆一元函数的情形推广到多元函数中验证可行性形式上1.回忆与推广x0xy()..()a.xO..x0xy()..()a.xO..x0xy()..()a.xO..回忆一元函数极限的概念的现在进行形式上的推广回忆一元函数极限的概念的现在进行形式上的推广进行整理我们完成了极限概念的推广工作.时的极限(二重极限),记为2.二元函数极限的定义几点注意多元函数的极限如果存在,则必唯一.应用这个性质,可将一元函数的极限运算法则和性质推广到多元函数中来.3.多元函数极限的性质、定理例(夹逼定理)由于怎么办?怎么办?而故由夹逼定理,得夹逼定理例解例(无
3、穷小性质)又(有界量)(无穷小量)无穷小量的性质由于例解例(有理化)有理化(平方差公式)例解例(等价无穷小)等价无穷小替代例解利用重要极限此题另一解法似曾相识例(重要极限)例解利用重要极限例(极限不存在)例解由于极限存在应与的方式和方向无关,而上述结果与k值有关,故原极限不存在.该例还说明一个问题对此你有什么想法?多元函数的极限不存在.“无穷多个方向”不等于“任意方向”.可利用方向性来判别累次极限是指的下列极限一般说来,这两个极限不一定相等.在高等数学中,运算顺序不能随便交换.4.累次极限若两个累次极限存在,但不相等：定理例由于两个累次极限不相等,故例解例二重极限存在不一定能推出累次极
4、限存在.但例即算两个累次极限存在且相等,也不一定能推出二重极限存在.请同学们课后讨论函数时的两类极限.当证明二元函数极限不存在的常用方法有：1.证明沿某特殊路径的极限不存在.2.验证沿某两个特殊路径的极限存在但不相等.对一元函数的极限,只需讨论它的两个单侧极限,但二元函数的极限要求讨论“所有”路径.二.多元函数的连续性1.二元函数连续性的定义请点击2.二元连续函数的运算3.多元初等函数4.有界闭区域上连续函数的性质1.二元函数连续性的定义若函数在区域上的每一点都连续,则称函数在区域上连续,记为数中讨论区间端点处连续性的情形.如果点为区域的边界点,则只需讨论点的邻域中属于的那一部
5、分,类似于一元函与一元函数类似：连续的多元函数的和、差、积、商(分母不能为零)仍是连续函数；可以参考以下两本书连续的多元函数的复合函数仍连续.在一定的条件下,2.二元连续函数的运算1.《分析中的反例》[美]B.R.盖尔鲍姆,J.M.H.奥姆斯特德,上海科学出版社,1980.参考书：2.《高等数学是非300例分析》计幕然等,北京航空学院出版社,1985.与一元函数类似由基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成的多元函数,称为多元初等函数.由基本初等函数的连续性及连续函数的运算法则可知:多元初等函数在其有定义的区域内是连续的.3.多元初等函数一元连续函数在闭区间上的性质,推广到多元函
6、数中应是连续函数在有界闭区域上的性质.在空间中,闭区域不一定有界.在一维空间中,闭区间一定是有界的.4.有界闭区域上连续函数的性质性质1(最大、最小值定理)推论设为有界闭区域.任意一个值,至少存在一点使得且在上取两个若函数值与则对于与间的性质2(介值定理)从定理可看出：则至少存在一点使得若取由连续性根存在定理能否由介值定理得出?设为有界闭区域.存在一点使得两个函数值与,且,则至少又在上取若该定理实际上是介值定理的推论.性质3(根存在定理)通常说：如果函数在点处不连续,则称函数在点处间断点称为函数的间断点.三.多元函数的间断点寻找间断点的方法与一元函数的情况类似函数无定义的点;极限存在但
7、不等于函数例如：极限不存在的点;在该点的函数值的点等等.例由分母不能为零,的一切点均为函数的间断点.Oxy例解直线上多元函数间断点多元函数的间断点可以构成直线、曲线、曲面等,也可以是某些点的集合.情形比较复杂例由分母不能为零,例解故点为函数的间断点.例由三角函数知识可知,所求间断点为Oxy同心圆例解例(极坐标)根据函数连续的定义,只需证明想想,应该怎么做?例解运用夹逼定理:故函数在点(0,0)处连续.运用极坐标
