多元函数的极限(I)

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1、6-2多元函数的极限1.二元函数的极限概念定义1设在点的某个空心邻域内有定义,若有一常数A,对任意给定的正数都存在正数,使得当时，就有则称　　　趋于　　　时　　　以Ａ为极限．则下面定义2定义1定义2设在点的某个空心邻域内有定义,若有一常数A,对任意给定的都存在一个,使得当时，就有证定义2定义1从而推出，当定义1定义2：例1证因为要证例2设函数证明证则有要证总有故补例设求证证故总有要证必须注意(1)二重极限存在,是指P以任何方式趋于P0时,函数都无限接近于A.(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时,函数趋于不同的值,则函数的极限不存在.讨论例3问函数解设P(x

2、,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.2.二元函数的极限运算法则与基本性质定理1设与在点的一个空心邻域内有定义,若则当　　时定理２定理３(夹逼定理)设与在点的一个空心邻域内有定义,且并且当,及分别以　及　为极限，则　　　即设与在点的一个空心邻域内有定义,且若则定理4(复合函数的极限定理)设及在点的一个空心邻域内有定义,且有极限:又设在点的一个空心邻域内有定义,且使得当在的空心邻域内时,函数有定义;并且当时,函数的极限为则当时,复合函数也有极限,并且等于定理5设是定义在点的一个空心邻域内的一元函数,且有极限又设是

3、定义在点的一个空心邻域内的二元函数,且则例4证明证则解令再由定理5及例2可知那么，由定理4我们得到例5求极限3.累次极限与全面极限累次极限例全面极限累次极限与全面极限是两个完全不同的概念例6函数但k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.若两个累次极限存在,但不相等：即使两个累次极限存在且相等,也不一定能推出二重极限存在.累次极限与二重极限是二个不同的概念,一般来说,它们之间没有什么必然联系.在求全面极限时不可用累次极限代替.例如，函数全面极限；累次极限：不存在0不存在.又例如，函数习题6-21.(1)(3)(5);2.(2);3.(1)(3);4.(2)

4、.