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1、第二节多元函数的极限与连续性一、多元函数的极限二、多元函数的连续性一、多元函数的极限为方便起见，我们以二元函数为例，讨论多元函数的极限问题定义1.设有二元函数，点是D的聚点。如果当属于D的点以任何方式趋于点时，函数值f(x,y)无限接近于某个确定的常数A,那么，就称当(x,y)→(x0,y0)时，二元函数f(x,y)在点(x0,y0)的极限为A。记为或也可记为或设有二元函数，点那么，就称当(x,y)→(x0,y0)时，二元函数f(x,y)在点(x0,y0)的极限为A。记为或上述定义可以用“”语言精确描述如下：是D的聚点。如
2、果存在常数A，对任意给定的正数，总存在正数，使得当时，都有二元函数的极限又称为二重极限。上述极限的定义可以推广到n元函数的情形。定义.例1.设,证：证明：函数f(x,y)的定义域为当时，显然故必无限接近于0，因此，由定义1，有二重极限是一元函数极限的推广，有关一元函数极限的某些性质和运算法则，可以直接类推到二重极限。例2求极限解：例3求极限解：在讨论二重极限时，如果点P(x,y)仅以某些特殊方式(例如，沿着某定直线或某定曲线)趋于P0(x0,y0)时，即使函数f(x,y)趋于某一确定的值，我们仍不能确定函数的极限存在。但反
3、之，如果当P(x,y)以不同方式趋于P0(x0,y0)时，f(x,y)趋于不同的值，则可断定函数的极限不存在。例4讨论极限是否存在.解：让点沿着直线趋于原点，这时有显然，当k取不同的值时，上式右端的结果不同，所以该极限不存在！仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.二、多元函数的连续性定义2设函数的定义域为D,点,如果则称函数在点处连续，点称为函数的连续点.如果函数在区域D内的每个点都连续，则称函数在区域D上连续,或称函
4、数是D上的连续函数.与一元函数类似，二元连续函数的和、差、积、商(分母不为零)及复合函数都是连续函数。由具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的二元函数，称为二元初等函数一切二元初等函数在其定义区域内都是连续的。例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.例5求下列极限解：(1)因为是初等函数，且在点有定义，则(2)因为而在原点连续，故有界闭区域上的连续多元函数具有以下性质：●性质1(最值性定理)有界闭区域上的多元连
5、续函数存在最大值和最小值。●推论(有界性)有界闭区域上的多元连续函数是有界函数。●性质2(介值性定理)有界闭区域上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。内容小结1.区域邻域:区域连通的开集2.多元函数概念n元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数有3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续作业P41-42T1(2)(3)(6)
