多元函数的极限与连续性(VI)

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1、§1平面点集与多元函数§2二元函数的极限§3二元函数的连续第十六章多元函数的极限与连续西华师范大学chinawestnormaluniversity§1平面点集与多元函数一、平面点集二、上的完备性定理三、二元函数数学分析Ch16多元函数的极限与连续一、平面点集坐标平面确定了坐标系的平面平面点集坐标平面上满足某种条件的点P的集合：满足的条件Exyo西华师范大学chinawestnormaluniversity1、常见的平面点集全平面半平面矩形域西华师范大学chinawestnormaluniversity圆域角域西华师范大

2、学chinawestnormaluniversity2.邻域:X0X0圆形邻域西华师范大学chinawestnormaluniversity2.邻域:X0X0方形邻域西华师范大学chinawestnormaluniversity3.内点、外点、界点:设E是一平面点集,(1)内点：存在邻域内部：E的全体内点所成集合，记为intEEX1X3X2（2）外点：存在邻域（3）界点：任意邻域且边界：E的全体界点所成集合，记为西华师范大学chinawestnormaluniversity如图例：z=ln(x+y)的定义域D={

3、(x,y)

4、x+y>0}易见,直线上方每一点都是D的内点.即D=intD,但直线上的点不是D的内点.x+y=0xy0D西华师范大学chinawestnormaluniversity例：西华师范大学chinawestnormaluniversity4.聚点、孤立点例如：X1X3X2聚点：点X的任一邻域内总有无限多个点属于E.即孤立点：但X不是聚点。即：西华师范大学chinawestnormaluniversity注：1、E的聚点X0可能属于E,也可能不属于E.2、E的内点一定是E的聚点.3、孤立点必为界点西华师范范大学ch

5、inawestnormaluniversity5.开集、闭集闭集：E的所有聚点都属于E，或E没有聚点。既开又闭集如：非开非闭集开集：E中每一点都是E的内点.即EintE注：由于总有intEE,因此,E是一个开集E=intE.西华师范大学chinawestnormaluniversity例1：E如图E若E不包含边界,则E为开集.若E包含边界,则E是闭集.E例2：E是开集E中的每一点都不是边界点。西华师范大学chinawestnormaluniversity6.连通集设E是一非空平面点集,若X,YE.都可用完全含

6、于E的折线将它们连接起来,则称E为连通集.XY连通YX非连通西华师范大学chinawestnormaluniversity开区域：是连通的非空开集闭区域：开区域连同其边界区域：开域、闭域，或者开域连同其一部分边界点所成的点集。7.开区域、闭区域、区域EEE西华师范大学chinawestnormaluniversity有界集：无界集：8.有界集、无界集西华师范大学chinawestnormaluniversity邻域,内点,边界点,开集,连通,有界,开区域,闭区域,聚点这些概范都可毫无困难地推广到三维空间R3中去,且有类似

7、的几何意义.它们还可推广到4维以上的空间中去,但不再有几何意义.西华师范大学chinawestnormaluniversity说明：（1）n维空间实数x一一对应数轴点.实数全体表示直线(一维空间)数组(x,y)一一对应平面点(x,y)全体表示平面(二维空间)数组(x,y,z)一一对应空间点(x,y,z)全体表示空间(三维空间)推广：n维数组(x1,x2,…,xn)全体称为n维空间，记为西华师范大学chinawestnormaluniversity（2）n维空间中两点间距离公式设两点为特殊地，当n=1,2,3时，便为数轴、

8、平面、空间两点间的距离．（3）n维空间中邻域概范：区域、内点、边界点、区域、聚点等概范也可定义．西华师范大学chinawestnormaluniversity二、中的完备性定理定义（点列的极限）：设为平面点集，为一固定点，若使得当时，有，则称点列收敛于点。。记为：西华师范大学chinawestnormaluniversity例：设P0为点集E的一个聚点。则存在E中的某个点列{Pn},使。西华师范大学chinawestnormaluniversity定理16.1Cauchy收敛准则:平面点列收敛的充要条件是：当时，对都有：

9、定理16.3Weierstrass聚点原理:有界无限点集至少有一个聚点。推论：有界无限点列必存在收敛子列。西华师范大学chinawestnormaluniversity三多元函数的概范点集D---定义域，---值域.x、y---自变量，z---因变量.1.二元函数的定义西华师范大学chinawestnormaluni