多元函数的极限与连续性

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1、第二节、多元函数的极限和连续性一、多元函数的极限二、多元函数的连续性三、小结、思考题四、作业极限，定义2.1设函数的定义域为任意给定的正数，总存在正数使得当时，都有时的则称为函数当一、多元函数的极限对于是D的聚点,若存在常数记为（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限。（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．(4)二元函数极限的概念可相应的推广到n元函数上去。说明：或也可记为或例3求证证当时，原结论成立．例4求极限解其中例证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．不存在.观察播放确定极限不存在的方法：（1）若极限值与k有

2、关，则可断言极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，存在，但两者不相等，令P(x,y)沿y=kx趋向于使此时也可断言在点处极限不存在．例证明：极限不存在。证：时，沿任意直线趋于分析：故不存在。沿任意曲线时，趋于例二元函数当时，其余部分。讨论在原点的极限。如图所示，任何直线趋于原点时，都趋于沿抛物线趋于原点时，都趋于所以极限不存在。当沿当点相应的解：零;处连续。点间断点。二、多元函数的连续性定义2.3是其聚点且如果则称元函数在如果若函数在内每一点都连续，函数在上连续。则称设元函数的定义域为点集设0P是函数的定义域的聚点，在点处不连续，则称是函数的例8讨论函数

3、在(0,0)处的连续性．解故函数在(0,0)处连续.例9讨论函数在(0,0)的连续性．解故函数在(0,0)处连续.（1）一元函数中关于连续函数的运算法则，对于多元函数仍适用，积、商（分母不为零）仍连续，复合函数也连续。如：都在其自然定义域上连续。（2)与一元初等函数类似，能用一个算式表示的多元函数，这个算式由常多元连续函数的注因此多元连续函数的和、差、多元初等函数是指等都是多元初等函数。量及其不同自变量的一元基本初等函数限次的四则运算和复合运算而得到，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．重要结论：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。如：经过有解

4、例设求点P0处连续，数，时，一般地，求如果是初等函0)(fPP的定义域内的点，是且)(Pf在则于是闭区域上连续函数的性质上有界，（1）有界性与最大值最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，（2）介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，必在D且能取得它的最大值和最小值。在D上取得介于最大值和最小值之间的任何值。必定多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）小结思考题若点沿着无数多条平面曲线趋向于点时，函数都趋向于A，能否断定？思考题解答不能.例取但是不存在.若取的图形练习题二、求下列各极限：1.2.三、证明：四、证

5、明极限：不存在。3.练习题答案作业不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察