多元函数的极限与连续(VI)

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1、高等院校非数学类本科数学课程大学数学（三）多元微积分学第一章多元函数微分学第一章多元函数微分学本章学习要求：理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。理解方向导数的概念，并掌

2、握它的计算方法以及它与梯度的关系。会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。知道二元函数的泰勒公式形式。知道n元函数的偏导数概念及其求法。熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。11.了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。12.理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。13.掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简

3、单的最大值和最小值的应用问题。第二节多元函数的极限与连续性极限极限的运算法则连续性连续函数的运算法则有界闭区域上连续函数的性质推广的思路第二节多元函数的极限与连续性极限极限的运算法则连续性连续函数的运算法则有界闭区域上连续函数的性质回忆一元函数的情形推广到多元函数中验证可行性形式上一.多元函数的极限及极限的运算x0xy()..()a.xO..x0xy()..()a.xO..x0xy()..()a.xO..回忆一元函数极限的概念的现在进行形式上的推广回忆一元函数极限的概念的现在进行形式上的推广进行整理我们完成了极限概念的推广工作.二元函数极限的定义时的

4、极限(二重极限),记为几点注意多元函数极限的性质、定理多元函数的极限如果存在,则必唯一.应用这个性质,可将一元函数的极限运算法则和性质推广到多元函数中来.由于怎么办?怎么办?而故由夹逼定理,得夹逼定理例解又(有界量)(无穷小量)无穷小量的性质由于例解有理化(平方差公式)例解等价无穷小替代似曾相识例解利用重要极限此题另一解法例解利用重要极限例解由于极限存在应与的方式和方向无关,而上述结果与k值有关,故原极限不存在.该例还说明一个问题对此你有什么想法?多元函数的极限不存在.“无穷多个方向”不等于“任意方向”.可利用方向性来判别累次极限累次极限是指的下列极

5、限一般说来,这两个极限不一定相等.在高等数学中,运算顺序不能随便交换.定理若两个累次极限存在,但不相等：由于两个累次极限不相等,故例解二重极限存在不一定能推出累次极限存在.但例即算两个累次极限存在且相等,也不一定能推出二重极限存在.请同学们课后讨论函数时的两类极限.当二.多元函数的连续性多元函数的连续性与一元函数的连续性类似,与函数的极限密切相关.二元函数连续性的定义若函数在区域上的每一点都连续,则称函数在区域上连续,记为数中讨论区间端点处连续性的情形.如果点为区域的边界点,则只需讨论点的邻域中属于的那一部分,类似于一元函与一元函数类似：和、

6、差、积、商(分母不能为零)仍是仍是连续函数；可以参考以下两本书二元函数连续函数的运算连续的多元函数的复合函数仍连续.在一定的条件下,连续的多元函数的1.《分析中的反例》[美]B.R.盖尔鲍姆,J.M.H.奥姆斯特德,上海科学出版社,1980.2.《高等数学是非300例分析》计幕然等,北京航空学院出版社,1985.与一元函数类似由基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成的多元函数,称为多元初等函数.由基本初等函数的连续性及连续函数的运算法则可知:多元初等函数在其有定义的区域内是连续的.多元初等函数有界闭区域上连续函数的性质一元连续函数在闭区间上的

7、性质,推广到多元函数中应是连续函数在有界闭区域上的性质.在空间中,闭区域不一定有界.在一维空间中,闭区间一定是有界的.性质1(最大、最小值定理)推论设为有界闭区域.任意一个值,至少存在一点使得且在上取两个若函数值与则对于与间的性质2(介质值定理)从定理可看出：则至少存在一点使得若取由连续性根存在定理能否由介值定理得出?设为有界闭区域.存在一点使得两个函数值与,且,则至少且在上取若该定理实际上是介值定理的推论.性质2(根存在定理)通常说：如果函数在点处不连续,则称函数在点处间断点称为函数的间断点.三.多元函数的间断点寻找间断点的方法与一元函数的情况类似

8、函数无定义的点;极限存在但不等于函数例如：极限不存在的点;在该点的函数值的点等等.由分母不能为零,的一切点均