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时间：2017-11-13
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1、多元函数的极限与连续习题1.用极限定义证明:。2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1）；(2)；(3)；(4)。3.求极限（1）；（2）；（3）；（4）。4.试证明函数在其定义域上是连续的。1.用极限定义证明:。因为，不妨设，有，，要使不等式成立取，于是，，：且，有，即证。2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1）；，，二重极限不存在。或，。(2)；可以证明所以。当，时，极限不存在，因此不存在，同理不存在。(3)；，当P(x,y)沿着趋于（0,0）时有，所以不存在；，。(4)∴，，不存在。
2、1.求极限（1）；，又，∴。（2）；。（3）；，而故。（4）。令，，时，，。1.试证明函数在其定义域上是连续的。证明：显然f(x,y)的定义域是xy>-1.当时，f(x,y)是连续的，只需证明其作为二元函数在y轴的每一点上连续。以下分两种情况讨论。（1）在原点（0,0）处f(0,0)=0,当时,由于不妨设，，从而，取，当时，，于是，无论，当时，都有（2）在处。（当时，当x=0时,,注意到，当时，于是，无论，当时，即f(x,y)在在处连续，综上，f(x,y)在其定义域上连续。
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