多元函数的极限与连续习题

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1、多元函数的极限与连续习题1.用极限定义证明:。2.讨论下列函数在(0,0)处的两个累次极限,并讨论在该点处的二重极限的存在性。(1);(2);(3);(4)。3.求极限(1);(2);(3);(4)。4.试证明函数在其定义域上是连续的。1.用极限定义证明:。因为,不妨设,有,,要使不等式成立取,于是,,:且,有,即证。2.讨论下列函数在(0,0)处的两个累次极限,并讨论在该点处的二重极限的存在性。(1);,,二重极限不存在。或,。(2);可以证明所以。当,时,极限不存在,因此不存在,同理不存在。(3);,当P(x,y)沿着趋于(0,0)时有,所以不存在;,。(4)∴,,不存在。

2、1.求极限(1);,又,∴。(2);。(3);,而故。(4)。令,,时,,。1.试证明函数在其定义域上是连续的。证明:显然f(x,y)的定义域是xy>-1.当时,f(x,y)是连续的,只需证明其作为二元函数在y轴的每一点上连续。以下分两种情况讨论。(1)在原点(0,0)处f(0,0)=0,当时,由于不妨设,,从而,取,当时,,于是,无论,当时,都有(2)在处。(当时,当x=0时,,注意到,当时,于是,无论,当时,即f(x,y)在在处连续,综上,f(x,y)在其定义域上连续。

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