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1、推广一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用第十一章第一节一、平面点集n维空间二、n元函数三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的极限与连续第十一章一、平面点集n维空间1.平面点集称为点P0的邻域.坐标平面上具有某种性质P的点的集合，若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为在平面上,称为平面点集，记作(1)邻域设有点集E及一点P:若存在U(P)E,若存在U(P)∩E=,若点P的任一邻域U(P)中既有属于E的点，也有则称P为E的内点,例如；则称P为E的外点，例如;则称
2、P为E的边界点，例如.不属于E的点,(2)内点、外点、边界点12(3)聚点若对任意给定的正数,点P的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E.聚点可以为E的内点或E的边界点注.1º内点一定是聚点；2º边界点可能是聚点,也可能不是聚点；但的点属于E,的点不属于E.则点集中的点都是E的内点；点集中的点都是E的聚点，E例如:设点集xyoD(4)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集EE,则称E为闭集；若点集D中任意两点开区域连同它的边界一起称为闭区域.D的折线相连,连通的
3、开集称为开区域,简称区域;。。E的边界点的全体称为E的边界,记作E;例如，是闭集、连通集、闭区域.都可用一完全属于则称D是连通的;是开集、连通集、是区域；例如，在平面上开区域闭区域整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o对点集E,若存在正数K,使对一切点PE,P与原点O的距离OPK,则称E为有界点集；否则，称为无界点集.2.n维空间n元有序数组的全体所构成的中的每一个元素称为该点或该n维集合,记作即一个点或一个n维向量,当所有坐标称该点为中的坐标原点,记作O.或n维零向量,向量的第k
4、个坐标.称为中的的距离记作规定为二、n元函数圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式引例:定义11.1变量z按照一定的规律与之对应，则称z是x,y的二元函数，记做其中，x,y称为自变量，z称为函数（或因变量）。设有三个变量x,y,z,如果对变量x,y在一定范围D内所取的每一对值，自变量x,y的取值范围D称为这个二元函数的定义域。类似可以有三元函数二元函数的定义域是平面点集.又如,二元函数定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面.一般地,二元函数z=f(x,y),(x,y)D的图形为空间曲面.三元函数的定义域是三维
5、空间的点集.的定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球如,三元函数解的函数f(x,y)，称为n次齐次函数)例1(1)定义域(2)定义域解例2三、多元函数的极限1.定义11.2设二元函数则称常数A为(也称为二重极限)某去心邻域内有意义,使得P满足记作时必有若对任意给定正数,总存在正数,注1º定义中的方式是任意的；2º二元函数的极限也叫二重极限3º二元函数的极限运算法则与一元函数类似．2.求二重极限的常用方法(1)利用定义求证:证例1当时，原结论成立．例3用变量代换化二重极限为一元函数的极限解xyoo求极限解其中例4(3)夹逼准则，
6、重要极限趋向于),(000yxP，若与k有关，则可断言:二重极限3.确定极限不存在的方法：令),(yxP沿直线(1)找两种特殊路径L1，L2，若(2)例5证明下列极限不存在：(1)(2)证(1)xyoy=xxyoy=x(2)分析.xyo证其值随k的不同而变化，例5-2解四、多元函数的连续性定义11.3定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,如果则称的间断点.则称函数连续.连续.记作定义11.4定义在D上,如果为函数函数不连续.设二元函数则称此函数在D上设函数例如,函数在(0,0)点极限不存在(例5(2)),又如,函数上间断.故(
7、0,0)为其间断点.在圆周结论:一切多元初等函数在其定义区域内连续.性质1(有界性与最大最小值定理)且能取得它在D上的最大值M及最小值m;闭区域上的多元连续函数有与一元函数类似的性质:在有界闭区域D上连续的多元函数必定在D上有界,性质2(介值定理)在有界闭区域D上连续的多元函数必取得介于它在D上的最大值和最小值之间的一切值.内容小结1.区域邻域:区域连通的开集2.多元函数概念n元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数有3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭区域上的多元连续函数的性质:有界性定理;最值定理;介值
8、定理3)一切多元初等函数在其定义区域内连续备用题1.设求解法1令设求解法2令即例2-1解例2-2解而则故此函数定义域不包括x,y轴化为一元函数极限例3-1解例3-2证解设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则有k值不同
