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《《多元函数极限》PPT课件(I)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一节多元函数预备知识多元函数的概念多元函数的极限多元函数的连续性functionofmanyvariables预备知识平面点集坐标面坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作邻域设P0(x0,y0)是xOy平面上的一个点,几何表示：Oxy.P0令有时简记为称之为①将邻域去掉中心,②也可将以P0为中心的某个矩形内(不算周界)注称之为的全体点称之为点P0邻域.去心邻域.(1)内点(2)外点如果存在点P的某个邻域则称P为E的外点.(3)边界点如点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,称P为E的边界点.任意一点与
2、任意一点集之间必有以下三种关系中的一种:设E为一平面点集,若存在称P为E的内点.E的边界点的全体称为E的边界.使U(P)∩E=,聚点若点P的任一去心邻域内总有E中的点则称P是E的聚点.(P本身可属于E,也可不属于E),平面区域(重要)设D是点集.连通的开集称区域连通集.如对D内任何两点,都可用折线连且该折线上的点都属于D,称D是或开区域.开集若E的任意一点都是内点,例称E为开集.E1为开集.结起来,开区域连同其边界,称为有界区域否则称为总可以被包围在一个以原点为中心、适当大的圆内的区域,称此区域为半径(可伸展到无限远处的区域)
3、.闭区域.有界区域.无界区域OxyOxyOxyOxy有界开区域有界半开半闭区域有界闭区域无界闭区域按着这个关系有确定的点集D称为该函数称为该函数的则称z是x,y的定义若变量z与D中的变量x,y之间有一个依赖关系,设D是xOy平面上的点集,使得在D内每取定一个点P(x,y)时,z值与之对应,记为称x,y为的数集二元(点)函数.称z为自变量,因变量,定义域,值域.多元函数的概念二元及二元以上的函数统称为记为函数在点处的函数值或类似,可定义n元函数.多元函数.最后指出,从一元函数到二元函数,在内容和方法上都会出现一些实质性的差别,而多
4、元函数之间差异不大.因此研究多元函数时,将以二元函数为主.解Oxy定义域是例求下面函数的定义域二元函数的几何意义研究单值函数二元函数的图形通常是一张曲面.多元函数的极限讨论二元函数怎样描述呢?Oxy(1)P(x,y)趋向于P0(x0,y0)的路径又是多种多样的.注方向有任意多个,Oxy(2)变点P(x,y)总可以用来表示极限过程:与定点P0(x0,y0)之间的距离记为不论的过程多复杂,记作定义1有成立.的极限.设二元函数P0(x0,y0)是D的聚点.的定义义域为D,如果存在常数A,也记作则当例证取有证毕.相同点多元函数的极限与一
5、元函数的极限的一元函数在某点的极限存在的充要?定义相同.差异为必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋而多元函数于P0时,相同点和差异是什么条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.当P(x,y)沿直线y=kx的方向其值随k的不同而变化.所以,极限不存在．无限接近点(0,0)时,设函数证明:例极限是否存在？练习取解所以，极限不存在.取例求极限解其中例求极限解将分母有理化,得多元函数的连续性设二元函数则称函数定义2P0(x0,y0)为D的聚点,且P0∈D.如果连续.如果函数f(x,y)在D内的每一点连续,则称函数在D内连续,或称
6、函数是D内的连续函数.的定义域为D,称为多元初等函数,积、商（分母不为零）及复合仍是连续的.同一元函数一样,多元函数的和、差、每个自变量的基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合,由一个式子表达的函数处均连续.在它们的定义域的内点有界闭区域上连续的多元函数的性质至少取得它的最大值和最小值各一次．介于这两值之间的任何值至少一次．(1)最大值和最小值定理(2)介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得想一想如何证明f(x,y)在?证xOy面上处处连续?
7、是初等函数，处处连续.又于是即证明了f(x,y)在由于xOy面上处处连续.证明f(x,y)在xOy面上处处连续?
