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1、多元函数的极限或或或主要：二元函数的极限例设按定义证明：证：[分析]即取则当就有按定义得：要使只要注意：在二元函数的极限定义中意味着：沿任意路径时，都有在D中当如果在D中沿路径1当当沿路径2则时，的极限不存在例考察函数(2)当点P(x,y)沿y轴趋于点(0,0)时,解：当时的极限。(1)当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时,(3)当点P(x,y)沿直线y=kx(k≠0)趋于点(0,0)时（其值随k的不同而改变）注多元函数的极限也具有与一元函数的极限类似的运算法则.二元函数的极限也称为二重极限.二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数n元函数的极限概念.从而得到例求
2、[]多元函数的连续性如果函数z=f(x,y)在定义域D上每一点都连续，则称函数z=f(x,y)在定义域D上连续，或称f(x,y)是D上的连续函数.定义设二元函数f(x,y)的定义域为D为D的聚点，且.如果则称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续.二元函数的连续性概念，可相应地推广到n元函数上.二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续，必须满足以下三个条件，即：(1)函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处有定义(2)函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处有极限.(3)函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的极限值等于该点的函数值，即：函
3、数f(x,y)在点(x0,y0)处连续怎么写？定义设函数f(x,y)的定义域为D，是D的聚点.如果函数f(x,y)在点不连续，则称点为函数f(x,y)的间断点.例如函数其定义域，O(0,0)是D的聚点.因为f(x,y)当时的极限不存在，所以点O(0,0)是该函数的一个间断点。圆周上的点都是D的聚点，而f(x,y)在C上没有定义，所以f(x,y)在C上各点都不连续，即：圆周C上各点都是该函数的间断点.其定义域为又如函数间断线一元函数可以看成二元函数的特例（即另一个变元不出现）。取从而有即按定义得：注上述定理表明：一元连续函数看成二元函数时仍是二元连续函数。类似地，有：一
4、元连续函数看成多元函数时仍是多元连续函数。因一元基本初等函数都是连续函数，所以一元基本初等函数看成二元函数或多元函数时仍是连续函数。一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用.由此可得：一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的。定义由常数与具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到，并且可用一个数学式子表示的多元函数，称为多元初等函数。定义区域：包含在定义域内的区域或闭区域。根据多元函数的极限运算法则，可以证明:多元连续函数的和、差、积、商仍为连续函数；多元连续函数的复合函数仍是连续函数.例如都是初等函数。从而有利用初等函数的连续性，
5、可以来求极限。例解函数是初等函数它的定义域为例求解：注多元函数的极限具有与一元函数的极限类似的性质。如：无穷大与无穷小的关系，两边夹准则等。无穷小的性质，等价无穷小代换，例解（有界量乘以无穷小还是无穷小）例解（）（两边夹准则）解例怎样定义函数只需令因此，只要求出的值即可。（洛必达法则）有界闭区域上的多元连续函数有如下的性质：性质1(有界性与最大值最小值定理):在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界,且能取得它的最大值和最小值.性质2(介值定理):在有界闭区域D上的多元连续函数必可取到介于最大值和最小值之间的任何值.小结：多元函数的定义多元函数的极限概念（特别是
6、二元函数的极限即：二重极限）注意：趋近方式的任意性多元初等函数的连续性有界闭区域上的多元连续函数的性质多元函数的连续概念作业P62，习题9-1，6-9
