多元函数的极限与连续ppt课件.ppt

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1、第一节多元函数的极限与连续第二章二、多元函数的极限三、多元函数的连续性一、多元函数的基本概念四、小结（1）邻域一、多元函数的概念（2）区域例如，即为开集．连通的开集称为开区域．例如，例如，有界闭区域；无界开区域．例如，（3）聚点内点一定是聚点；说明：边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例(0,0)是聚点但不属于集合．边界上的点都是聚点也都属于集合．也可能不是聚点(孤立点)（4）n维空间n维空间记为说明：n维空间中两点间距离公式设两点为n维空间中邻域、区域、内点、边界点、聚点等

2、概念也可类似定义．（5）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．例1求的定义域．解所求定义域为例2.设求解令（6）二元函数的图形二元函数的图形通常是一张曲面.二、多元函数的极限说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限以上关于二元函数的极限可相应地推广到n元函数上.例1.设求证：证:故总有要证例2.设求证：证：故总有要证例3.求下列极限：由于解:而故由夹逼定理,得由于而故由夹逼定理,得夹逼定理例解又(有界量)(无穷小量)无穷小量的性质由于例解等价无穷小替代例解此题另一解法利用重要极限若当点趋于不同值或有的极限

3、不存在，解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有由于k值不同极限不同在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例4.讨论函数函数例5证明不存在．由于其值随k的不同而变化，故极限不存在．证:设P(x,y)沿曲线趋于点(0,0)则有三、多元函数的连续性定义多元函数的连续性与一元函数的连续性类似,与函数的极限密切相关.下面主要讨论二元函数的情况对于闭区域的边界点,则只需讨论边界点的邻域中属于闭区域的那一部分,类似于一元函数中讨论区间端点处连续性的情形.与一元函数类似，二元连续函数的和、差

4、、积、商(分母不能为零)及复合函数仍是连续函数.多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义的区域内都是连续函数．例1解有理化(平方差公式)例解例解利用重要极限例2讨论函数的连续性解证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得例3闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上连续的多元函数，必有最大值和最小值．在有界闭区域D上连续的多元函数，必可取得介于函数的最大值与最小值之间的任何值．（1）最大值和最小值定理（2）介

5、值定理多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义解不能.例取但是不存在.因为若取思考：是否存在？解：所以极限不存在.练习：